matlab - 多元正态分布 Matlab，概率区域

Question

我有 2 个数组:一个是 x 坐标，另一个是 y 坐标。作为蒙特卡洛模拟的结果，两者都是正态分布。我知道如何找到两个数组的 sigma 和 mu，并获得 95% 的置信区间:

[mu,sigma]=normfit(x_array);
hist(x_array);
x=norminv([0.025 0.975],mu,sigma)

然而，这两个数组是相互关联的。为了绘制组合数组的概率分布，我使用多元正态分布。在 MATLAB 中，这给了我:

[MuX,SigmaX]=normfit(x_array);
[MuY,SigmaY]=normfit(y_array);
mu = [MuX MuY];
Sigma=cov(x_array,y_array);
x1 = MuX-4*SigmaX:5:MuX+4*SigmaX; x2 = MuY-4*SigmaY:5:MuY+4*SigmaY;
[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);
F = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,Sigma);
F = reshape(F,length(x2),length(x1));
surf(x1,x2,F);
caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]);
set(gca,'Ydir','reverse')
xlabel('x0-as'); ylabel('y0-as'); zlabel('Probability Density');

到目前为止一切顺利。现在我想计算 95% 概率区域。我正在寻找作为 mndinv 的函数，就像 norminv 一样。然而，MATLAB 中不存在这样的函数，这是有道理的，因为有无限的可能性......有人有关于如何获得 95% 概率区域的提示吗？提前致谢。

Answer 1

对于双变量情况，您可以添加面积对应于 NORMINV(95%) 的椭圆。这个椭圆是唯一标识的，为了证明，请参阅链接中的第一个来源。

% Suppose you know the distribution params, or you got them from normfit()
mu    = [3, 7];
sigma = [1, 2.5
         2.5  9];

% X/Y values for plotting grid
x = linspace(mu(1)-3*sqrt(sigma(1)), mu(1)+3*sqrt(sigma(1)),100);
y = linspace(mu(2)-3*sqrt(sigma(end)), mu(2)+3*sqrt(sigma(end)),100);

% Z values
[X1,X2] = meshgrid(x,y);
Z       = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,sigma);
Z       = reshape(Z,length(y),length(x));

% Plot
h = pcolor(x,y,Z);
set(h,'LineStyle','none')
hold on

% Add level set
alpha = 0.05;
r     = sqrt(-2*log(alpha));
rho   = sigma(2)/sqrt(sigma(1)*sigma(end));
M     = [sqrt(sigma(1)) rho*sqrt(sigma(end))
         0              sqrt(sigma(end)-sigma(end)*rho^2)];


theta = 0:0.1:2*pi;
f     = bsxfun(@plus, r*[cos(theta)', sin(theta)']*M, mu);
plot(f(:,1), f(:,2),'--r')

来源

• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Cumulative_function_n_dimensional_Gaussians_12.2013.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution