matlab - 使用 Givens 旋转的 QR 分解算法

Question

我正在 MATLAB 中编写 QR 分解算法，只是为了确保我的机制正确。这是主要功能的代码:

    function [Q,R] = QRgivens(A)
        n = length(A(:,1));
        Q = eye(n);
        R = A;

        for j = 1:(n-1)
            for i = n:(-1):(j+1)
                G = eye(n);
                [c,s] = GivensRotation( A(i-1,j),A(i,j) );
                G(i-1,(i-1):i) = [c s];
                G(i,(i-1):i)   = [-s c];
                Q = Q*G';
                R = G*R;
            end
        end
    end

子函数GivensRotation如下:

    function [c,s] = GivensRotation(a,b)
        if b == 0
            c = 1;
            s = 0;
        else
            if abs(b) > abs(a)
                r = -a / b;
                s = 1 / sqrt(1 + r^2);
                c = s*r;
            else
                r = -b / a;
                c = 1 / sqrt(1 + r^2);
                s = c*r;
            end
        end
    end

我做过研究，我很确定这是实现这种分解的最直接的方法之一，尤其是在 MATLAB 中。但是当我在矩阵 A 上测试它时，生成的 R 不是直角三角形。 Q 是正交的，并且 Q*R = A，因此该算法在做一些正确的事情，但它并没有产生完全正确的因式分解。也许我只是盯着这个问题看得太久了，但如果能对我忽略的内容有任何见解，我们将不胜感激。

Answer 1

这似乎有更多的错误，我看到的:

1. 您应该使用 [c,s] = GivensRotation( R(i-1,j),R(i,j) ); (注意，R 而不是 A)
2. 原始乘法 Q = Q*G'; R = G*R 正确。
3. r = a/b 和 r = b/a(没有减号，不确定是否重要)
4. G([i-1, i],[i-1, i]) = [c -s; sc];

这是一个示例代码，似乎可以工作。

第一个文件，

% qrgivens.m
function [Q,R] = qrgivens(A)
  [m,n] = size(A);
  Q = eye(m);
  R = A;

  for j = 1:n
    for i = m:-1:(j+1)
      G = eye(m);
      [c,s] = givensrotation( R(i-1,j),R(i,j) );
      G([i-1, i],[i-1, i]) = [c -s; s c];
      R = G'*R;
      Q = Q*G;
    end
  end

end

第二个

% givensrotation.m
function [c,s] = givensrotation(a,b)
  if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
  else
    if abs(b) > abs(a)
      r = a / b;
      s = 1 / sqrt(1 + r^2);
      c = s*r;
    else
      r = b / a;
      c = 1 / sqrt(1 + r^2);
      s = c*r;
    end
  end

end