performance - Matlab bsxfun() - 如何解释沿不同维度扩展时的性能差异？

Question

在我的工作(计量经济学/统计学)中，我经常需要将不同大小的矩阵相乘，然后对生成的矩阵执行其他操作。我一直依靠 bsxfun() 来矢量化代码，总的来说我发现它比 repmat() 更有效。但我不明白的是，为什么有时 bsxfun() 的性能在沿不同维度扩展矩阵时会大不相同。

考虑这个具体的例子:

x      = ones(j, k, m);
beta   = rand(k, m, s);

exp_xBeta   = zeros(j, m, s);
for im = 1 : m
    for is = 1 : s
        xBeta                = x(:, :, im) * beta(:, im, is);
        exp_xBeta(:, im, is) = exp(xBeta);
    end
end

y = mean(exp_xBeta, 3);

上下文:

我们有来自 m 个市场的数据，在每个市场中我们要计算 exp(X * beta) 的期望值，其中 X 是一个 j x k 矩阵，beta 是一个 k x 1 随机向量.我们通过蒙特卡洛积分计算这个期望 - 绘制 s 个 beta，为每个绘制计算 exp(X * beta)，然后取平均值。通常我们使用 m > k > j 获取数据，并且我们使用非常大的 s。在这个例子中，我只是让 X 成为一个矩阵。

我使用 bsxfun() 做了 3 个版本的向量化，它们的区别在于 X 和 beta 的形状:

矢量化 1

x1      = x;                                    % size [ j k m 1 ]
beta1   = permute(beta, [4 1 2 3]);             % size [ 1 k m s ]

tic
xBeta       = bsxfun(@times, x1, beta1);
exp_xBeta   = exp(sum(xBeta, 2));
y1          = permute(mean(exp_xBeta, 4), [1 3 2 4]);   % size [ j m ]
time1       = toc;

矢量化 2

x2      = permute(x, [4 1 2 3]);                % size [ 1 j k m ]
beta2   = permute(beta, [3 4 1 2]);             % size [ s 1 k m ]

tic
xBeta       = bsxfun(@times, x2, beta2);
exp_xBeta   = exp(sum(xBeta, 3));
y2          = permute(mean(exp_xBeta, 1), [2 4 1 3]);   % size [ j m ]
time2       = toc;

矢量化 3

x3      = permute(x, [2 1 3 4]);                % size [ k j m 1 ]
beta3   = permute(beta, [1 4 2 3]);             % size [ k 1 m s ]

tic
xBeta       = bsxfun(@times, x3, beta3);
exp_xBeta   = exp(sum(xBeta, 1));
y3          = permute(mean(exp_xBeta, 4), [2 3 1 4]);    % size [ j m ]
time3       = toc;

这就是它们的表现(通常我们使用 m > k > j 获取数据，并且我们使用了非常大的 s):

j = 5，k = 15，m = 100，s = 2000:

For-loop version took 0.7286 seconds.
Vectorized version 1 took 0.0735 seconds.
Vectorized version 2 took 0.0369 seconds.
Vectorized version 3 took 0.0503 seconds.

j = 10，k = 15，m = 150，s = 5000:

For-loop version took 2.7815 seconds.
Vectorized version 1 took 0.3565 seconds.
Vectorized version 2 took 0.2657 seconds.
Vectorized version 3 took 0.3433 seconds.

j = 15，k = 35，m = 150，s = 5000:

For-loop version took 3.4881 seconds.
Vectorized version 1 took 1.0687 seconds.
Vectorized version 2 took 0.8465 seconds.
Vectorized version 3 took 0.9414 seconds.

为什么版本 2 始终是最快的版本？最初，我认为性能优势是因为 s 设置为维度 1，Matlab 可能能够更快地计算，因为它以列优先顺序存储数据。但是 Matlab 的分析器告诉我，计算该平均值所花费的时间相当微不足道，并且在所有 3 个版本中都或多或少相同。 Matlab 大部分时间都在用 bsxfun() 评估该行，这也是三个版本中运行时差异最大的地方。

有没有想过为什么版本 1 总是最慢而版本 2 总是最快的？

我在这里更新了我的测试代码: Code

编辑:这篇文章的早期版本不正确。 beta 的大小应为 (k, m, s)。

Answer 1

bsxfun当然是向量化事物的好工具之一，但如果你能以某种方式引入 matrix-multiplication 那将是最好的方法，如 matrix multiplications are really fast on MATLAB .

在这里你似乎可以使用matrix-multiplication来得到exp_xBeta -

[m1,n1,r1] = size(x);
n2 = size(beta,2);
exp_xBeta_matmult = reshape(exp(reshape(permute(x,[1 3 2]),[],n1)*beta),m1,r1,n2)

或者直接获取y如下图——

y_matmult = reshape(mean(exp(reshape(permute(x,[1 3 2]),[],n1)*beta),2),m1,r1)

解释

为了更详细地解释它，我们将尺寸设置为 -

x      : (j, k, m)
beta   : (k, s)

我们的最终目标是使用矩阵乘法从x 和beta 中“消除”k。因此，我们可以使用 permute 将 x 中的 k“推”到末尾，并 reshape 为保持 k 的二维> 作为行，即 ( j * m , k )，然后用 beta ( k , s ) 执行矩阵乘法，得到 ( j * m , s )。然后可以将乘积重新整形为 3D 数组(j、m、s)并执行元素指数，这将是 exp_xBeta。

现在，如果最终目标是 y，即沿 exp_xBeta 的第三维获取平均值，则相当于计算沿行的平均值矩阵乘积 (j * m, s )，然后 reshape 为 ( j , m ) 以直接得到我们 y。