performance - 在matlab中对矩阵元素求和的有效(最快)方法

Question

让矩阵 A 说 A = magic(100);。我见过两种计算矩阵 A 的所有元素之和的方法。

sumOfA = sum(sum(A));

或者

sumOfA = sum(A(:));

其中一个比另一个更快(或更好地练习)吗？如果有的话是哪一个？或者它们都一样快？

Answer 1

对于性能和浮点精度哪个更重要，您似乎无法下定决心。

如果浮点精度是最重要的精度，那么您将分离正元素和负元素，对每个部分进行排序。然后按绝对值递增的顺序求和。是的，我知道，这比任何人都多，而且可能会浪费时间。

相反，请使用足够的精度，这样所犯的任何错误都将无关紧要。在测试等方面使用良好的数值实践，这样就不会产生问题。

就时间而言，对于一个 NxM 数组，

sum(A(:)) 将需要 N*M-1 次加法。

sum(sum(A)) 将需要 (N-1)*M + M-1 = N*M-1 次加法。

这两种方法都需要相同数量的添加，因此对于大型数组，即使解释器不够聪明，无法识别它们都是相同的操作，谁在乎呢？

这根本不是问题。不要小题大做，担心这个问题。

编辑:作为对 Amro 关于一种方法相对于另一种方法的错误的评论的回应，您几乎无法控制。添加将以不同的顺序完成，但无法保证哪个顺序更好。

A = randn(1000);
format long g

这两个解决方案非常接近。事实上，与 eps 相比，差别不大。

sum(A(:))
ans =
          945.760668102446

sum(sum(A))
ans =
          945.760668102449

sum(sum(A)) - sum(A(:))
ans =
      2.72848410531878e-12

eps(sum(A(:)))
ans =
      1.13686837721616e-13

假设您选择了我提到的分离和排序技巧。请注意负数部分和正数部分足够大，以至于精度会有所损失。

sum(sort(A(A<0),'descend'))
ans =
          -398276.24754782

sum(sort(A(A<0),'descend')) + sum(sort(A(A>=0),'ascend'))
ans =
            945.7606681037

因此，无论如何，您确实需要将这些片段累积到更高精度的数组中。我们可以试试这个:

[~,tags] = sort(abs(A(:)));
sum(A(tags))
ans =
          945.760668102446

即使在这些测试中也会出现一个有趣的问题。因为测试是在随机(正常)阵列上完成的，所以会有问题吗？本质上，我们可以将 sum(A(:)) 视为随机游走，醉汉游走。但是考虑总和(总和(A))。 sum(A) 的每个元素(即内部和)本身就是 1000 个正态偏差的总和。看看其中的几个:

sum(A)
ans =
  Columns 1 through 6
         -32.6319600960983          36.8984589766173          38.2749084367497          27.3297721091922          30.5600109446534          -59.039228262402
  Columns 7 through 12
          3.82231962760523          4.11017616179294         -68.1497901792032          35.4196443983385          7.05786623564426         -27.1215387236418
  Columns 13 through 18

当我们将它们相加时，会有精度损失。因此，作为 sum(A(:)) 的操作可能会稍微准确一些。是这样吗？如果我们使用更高的精度进行累加呢？所以首先，我将使用 double 对列求和，然后转换为 25 位小数精度，然后对行求和。 (我在这里只显示了 20 位数字，留下 5 位数字作为保护数字隐藏。)

sum(hpf(sum(A)))
ans =
945.76066810244807408

或者，直接转换为 25 位精度，然后对结果求和。

sum(hpf(A(:))
945.76066810244749807

所以 double 的两种形式在这里都同样错误，方向相反。最后，这一切都没有实际意义，因为与简单的变体 sum(A(:)) 或 sum(sum(A)) 相比，我展示的任何替代方案都耗时更多。只需选择其中之一，不用担心。