matlab - ODE45 和 Runge-Kutta 方法的绝对误差与解析解的比较

Question

如果有人可以帮助解决以下问题，我将不胜感激。我有以下 ODE:

dr/dt = 4*exp(0.8*t) - 0.5*r   ,r(0)=2, t[0,1]       (1)

我已经用两种不同的方法解决了 (1)。通过 Runge-Kutta 方法(四阶)和通过 Matlab 中的 ode45。我将这两个结果与解析解进行了比较，解析解由下式给出:

r(t) = 4/1.3 (exp(0.8*t) - exp(-0.5*t)) + 2*exp(-0.5*t)

当我绘制每个方法相对于精确解的绝对误差时，我得到以下信息:

对于 RK 方法，我的代码是:

h=1/50;                                            
x = 0:h:1;                                        
y = zeros(1,length(x)); 
y(1) = 2;    
F_xy = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;                   
for i=1:(length(x)-1)                              
    k_1 = F_xy(x(i),y(i));
    k_2 = F_xy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*h*k_1);
    k_3 = F_xy((x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*h*k_2));
    k_4 = F_xy((x(i)+h),(y(i)+k_3*h));
    y(i+1) = y(i) + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;  % main equation
end

对于ode45:

tspan = 0:1/50:1;
x0 = 2;
f = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
[tid, y_ode45] = ode45(f,tspan,x0);

我的问题是，为什么我使用ode45时会出现振荡？ (我指的是绝对误差)。两种解决方案都是准确的 (1e-9)，但是在这种情况下 ode45 会发生什么情况？

当我计算 RK 方法的绝对误差时，为什么它看起来更好？

Answer 1

您的 RK4 函数正在采取比 ode45 正在采取的步骤小得多的固定步骤。您真正看到的是由于 polynomial interpolation 引起的错误用于生成 ode45 采取的真实步骤之间的点。这通常被称为“密集输出”(参见 Hairer & Ostermann 1990)。

当您指定一个包含两个以上元素的TSPAN 向量时，Matlab's ODE suite solvers产生固定步长输出。然而，这并不意味着他们实际使用固定步长或使用 TSPAN 中指定的步长。您可以看到实际使用的步长大小，并通过让 ode45 输出一个结构并使用 deval 仍然获得所需的固定步长输出。 :

sol = ode45(f,tspan,x0);
diff(sol.x) % Actual step sizes used
y_ode45 = deval(sol,tspan);

您会看到，在 0.02 的初始步骤之后，因为您的 ODE 很简单，所以它在后续步骤中收敛到 0.1。默认容差与默认最大步长限制(积分间隔的十分之一)相结合决定了这一点。让我们绘制真实步骤的错误:

exactsol = @(t)(4/1.3)*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t);
abs_err_ode45 = abs(exactsol(tspan)-y_ode45);
abs_err_ode45_true = abs(exactsol(sol.x)-sol.y);
abs_err_rk4 = abs(exactsol(tspan)-y);
figure;
plot(tspan,abs_err_ode45,'b',sol.x,abs_err_ode45_true,'k.',tspan,abs_err_rk4,'r--')
legend('ODE45','ODE45 (True Steps)','RK4',2)

如您所见，真实步骤的误差比 RK4 的误差增长得更慢(ode45 实际上是一种比 RK4 更高阶的方法，因此您可以预料到这一点)。由于插值，误差在积分点之间增加。如果你想限制这个，那么你应该通过 odeset 调整公差或其他选项。 .

如果您想强制 ode45 使用 1/50 的步长，您可以这样做(之所以可行，是因为您的 ODE 很简单):

opts = odeset('MaxStep',1/50,'InitialStep',1/50);
sol = ode45(f,tspan,x0,opts);
diff(sol.x)
y_ode45 = deval(sol,tspan);

对于另一个实验，尝试扩大积分区间以积分到 t = 10。您会在错误中看到很多有趣的行为(绘制相对错误在这里很有用)。你能解释一下吗？您能否使用 ode45 和 odeset 生成表现良好的结果？将大区间的指数函数与自适应步进方法相结合具有挑战性，ode45 不一定是完成这项工作的最佳工具。有alternatives然而，但它们可能需要一些编程。