matlab - 在 Matlab 中以数值方式查找广义特征向量

Question

我有一个像这个例子的矩阵(我的实际矩阵可以大得多)

A = [-1 -2   -0.5;
      0  0.5  0;
      0  0   -1];

只有两个线性无关的特征值(重复特征值 -1)。我想获得 generalized eigenvectors 的完整基础.我知道如何做到这一点的一种方法是使用 Matlab 的 jordan符号数学工具箱中的函数，但我更喜欢为数字输入设计的东西(实际上，有两个输出，jordan 对大矩阵失败:“MuPAD 命令错误:相似矩阵太大。”) .我不需要 Jordan 规范形式，它在数字上下文中是出了名的不稳定，只需要一个广义特征向量矩阵。是否有一个函数或函数组合可以以数字稳定的方式自动执行此操作，或者必须使用 the generic manual method (这样的程序有多稳定)？

注意:“广义特征向量”是指可用于扩充所谓 defective matrix 的不完整基础的非零向量。 .我不是指与通过求解 generalized eigenvalue problem 获得的特征值相对应的特征向量使用 eig 或 qz(尽管后一种用法很常见，但我认为最好避免使用)。除非有人能纠正我，否则我不相信这两者是一样的。

更新 1 – 五个月后:

参见 my answer here了解如何为大于 82×82 的矩阵(此问题中我的测试矩阵的限制)象征性地获得广义特征向量。

我仍然对数字方案感兴趣(或者如果这些方案都与计算 Jordan 形式相关，那么这些方案可能会如何不稳定)。我不想盲目地实现已标记为该问题重复的线性代数 101 方法，因为它不是数值算法，而是用于评估学生的纸笔方法(我想它可以实现然而象征性地)。如果有人能指出我该方案的实现或数值分析，我会对此感兴趣。

更新 2 – 2015 年 2 月:在 R2014b 中测试时，以上所有内容仍然正确。

Answer 1

正如我在评论中提到的，如果您的矩阵有缺陷，但您知道在给定容差的情况下您希望将哪些特征向量/特征值对视为相同，您可以按照下面的示例继续操作:

% example matrix A:
A = [1 0 0 0 0; 
     3 1 0 0 0; 
     6 3 2 0 0; 
     10 6 3 2 0;
     15 10 6 3 2]
% Produce eigenvalues and eigenvectors (not generalized ones)
[vecs,vals] = eig(A)

这应该输出:

vecs =

     0         0         0         0    0.0000
     0         0         0    0.2236   -0.2236
     0         0    0.0000   -0.6708    0.6708
     0    0.0000   -0.0000    0.6708   -0.6708
1.0000   -1.0000    1.0000   -0.2236    0.2236


vals =

 2     0     0     0     0
 0     2     0     0     0
 0     0     2     0     0
 0     0     0     1     0
 0     0     0     0     1

我们看到前三个特征向量与工作精度几乎相同，最后两个特征向量也是如此。在这里，您必须了解问题的结构并确定具有相同特征值的相同特征向量。这里，特征值完全相同，所以我们知道要考虑哪些特征值，我们将假设对应的向量 1-2-3 和向量 4-5 相同。 (在实践中，您可能会检查特征向量差异的范数并将其与您的容忍度进行比较)

现在我们继续计算广义特征向量，但这不适用于简单地用 matlab 的 \ 求解，因为显然 (A - lambda*I) 不是满级。所以我们使用伪逆:

genvec21 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*vecs(:,1);
genvec22 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*genvec21;
genvec1 = pinv(A - vals(4,4)*eye(size(A)))*vecs(:,4);

应该给出:

genvec21 =

   -0.0000
    0.0000
   -0.0000
    0.3333
         0

genvec22 =

    0.0000
   -0.0000
    0.1111
   -0.2222
         0

genvec1 =

    0.0745
   -0.8832
    1.5317
    0.6298
   -3.5889

哪些是我们的其他广义特征向量。如果我们现在检查这些以获得像这样的乔丹范式:

jordanJ = [vecs(:,1) genvec21 genvec22 vecs(:,4) genvec1];
jordanJ^-1*A*jordanJ

我们得到:

ans =

2.0000    1.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000
     0    2.0000    1.0000   -0.0000   -0.0000
     0    0.0000    2.0000    0.0000   -0.0000
     0    0.0000    0.0000    1.0000    1.0000
     0    0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

这是我们的 Jordan 范式(有工作精度误差)。