matlab - 为什么在 matlab 中 sin(pi) 不精确但 sin(pi/2) 是精确的？

Question

我在使用 matlab 计算时遇到问题。我知道“pi”是一个 float ，并不精确。因此，在 matlab 中 sin(pi) 不完全为零。我的问题是，如果“pi”不准确，那么为什么 sin(pi/2) 正好等于 1。

sin(pi) --> 因为 pi 而不是精确的。但sin(pi/2) 正好等于 1

我很奇怪也很困惑!

Answer 1

我不知道 Matlab 计算 sin(x) 的确切方法 - 但您可以通过使用幂级数计算它来研究这个问题，即

sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! ...

将其转换为一些 Matlab 代码，我们将其表示为:

clc
x = pi;     %  or x = pi/2
res = x;
factor = -1;
for ii=3:2:19
  res = res + factor*power(x,ii)/factorial(ii);
  factor = factor*-1;  
  fprintf ( 'iteration %2i  sin(x)=%1.16f\n', (ii-1)/2, res );
end
res

为 x=pi 和 x=pi/2 运行此代码，您可以看到 x=pi/2 收敛于正确的结果(在 eps 误差内)非常快(9 次迭代)- 而 x=pi 情况不会在同一时间范围内收敛。

值得注意的是，在第 9 次迭代中，在 factorial(19) 中计算的最后一个阶乘。将按此序列计算的下一个阶乘是 21。由于 double ，这是最后一个可以 100% 准确度表示的阶乘(请参阅 help factorial)。

所以我认为发生的事情是，对于 pi/2，数学解收敛到 1 的速度比 pi 的情况更快，达到 double 。事实上，由于数学上的限制以及可以存储在 double 结果中的准确性，pi 的情况不能完全收敛。

综上所述，sin(pi) 在 eps 内，因此您应该根据自己的目的使用该事实。

我复制了下面得到的结果 (R2015b):

Results for PI/2
iteration  1  sin(x)=0.9248322292886504
iteration  2  sin(x)=1.0045248555348174
iteration  3  sin(x)=0.9998431013994987
iteration  4  sin(x)=1.0000035425842861
iteration  5  sin(x)=0.9999999437410510
iteration  6  sin(x)=1.0000000006627803
iteration  7  sin(x)=0.9999999999939768
iteration  8  sin(x)=1.0000000000000437
iteration  9  sin(x)=1.0000000000000000
Final Result: 1.0000000000000000


Results for PI
iteration  1  sin(x)=-2.0261201264601763
iteration  2  sin(x)=0.5240439134171688
iteration  3  sin(x)=-0.0752206159036231
iteration  4  sin(x)=0.0069252707075051
iteration  5  sin(x)=-0.0004451602382092
iteration  6  sin(x)=0.0000211425675584
iteration  7  sin(x)=-0.0000007727858894
iteration  8  sin(x)=0.0000000224195107
iteration  9  sin(x)=-0.0000000005289183
Final Result: -0.0000000005289183