python - 在python中对不均匀采样数据进行拉普拉斯算子

Question

我有一堆 x 和 y 值形式的不均匀采样(一维)数据，我想对其进行拉普拉斯算子。在 numpy/scipy 中是否有一种简单的方法可以做到这一点？

我正在考虑采用梯度的梯度，但这不会引入伪影，即使在均匀采样的数据中也是如此？例如，给定数据 0,0,0,4,8,8,8 和 1d 拉普拉斯运算符 1,-2,1，拉普拉斯算子将为 0,0,4,0,-4,0,0，但是使用渐变的梯度会产生0,1,2,0,-2,-1,0

Answer 1

对于均匀分布的网格，获得 [1, -2, 1] 运算符的一种方法是使用前向差分方案计算一阶导数，然后使用后向差分方案计算第二阶导数，反之亦然，因为两者产生相同的结果。因此，对于不均匀的网格，一个好的选择是同时采用两种方法，然后对结果进行平均。

假设我们正在查看一个网格点，该网格点位于前一个网格点之前的 hb 位置，而位于下一个网格点之后的 hf 位置:

--+----+----+---
 x-hb  x   x+hb 

如果我没有弄乱我的代数，那么按照上述平均值计算的 x 处的拉普拉斯算子将是:

(f(x+hf)*(1+hb/hf) + f(x)(2+hb/hf+hf/hb) + f(x-hb)(1+hf/hb)) / (2*hf*hb)

您可以在一维数组上计算此值:

def laplacian(x, y):
    x = np.asarray(x)
    y = np.asarray(y)
    hb = x[1:-1] - x[:-2]
    hf = x[2:] - x[1:-1]
    y_hb = y[:-2]
    y_hf = y[2:]
    hb_hf = hb / hf
    hf_hb = hf / hb
    return (y_hf*(1+hb_hf) - y[1:-1]*(2+hb_hf+hf_hb) +
            y_hb*(1+hf_hb)) / 2 / hb / hf

>>> laplacian(range(7), [0,0,0,4,8,8,8])
array([ 0.,  4.,  0., -4.,  0.])