functional-programming - 如何用类似 lisp 的语言分解几何图形构建？

Question

我怎样才能用类似 lisp 的语言分解这个过程？

• 从一些几何图形开始。
• 我们将它相乘并得到多个副本。
• 然后我们将这个副本设置在其他图形的边框上，e.q.副本之间的距离相等。
• 然后我们设置边框上每个对象的旋转依赖于其在边界上的位置。

有哪些方法可以将这个过程分解为一个整体:复制一个对象，将其副本排列在其他对象的边界上，设置其副本的旋转？

最后一步特别有趣，还有如何将它与前面的步骤组合起来的方法。

Answer 1

你的问题很宽泛，让我们举一个简单的二维形状示例。

下面的代码定义为我们可以这样写:

(isomorphism (alexandria:compose (scale 10)
                                 (lift #'round)
                                 (rotate 90))
             (triangle (point 0 0)
                       (point 1 0)
                       (point 0 1)))

=> (TRIANGLE (POINT 0 0) (POINT 0 10) (POINT -10 0))

这会计算一个简单的变换函数，称为同构(保留形状)，首先是旋转，然后是计算点的舍入，然后是缩放操作。结果是一个描述结果形状的列表。复制形状只是函数#'identity 的同构(但如果你采用纯函数方式，它就有点没用了)。

注意:此处四舍五入，例如当 cos/sin 给出非常小的 float 时回落到零； float 的使用破坏了形状的保持，舍入也是如此，但是当它们组合在一起时，结果形状是一个实际的同构。根据您的需求目的，这一点正确性/准确性可能重要也可能不重要。您还可以描述应用了哪些转换并仅“光栅化”它们以供显示。

变换函数处理坐标列表，并返回坐标列表:

(defun translate (dx &optional (dy dx))
  (lambda (xy) (mapcar #'+ xy (list dx dy))))

(defun scale (sx &optional (sy sx))
  (lambda (xy) (mapcar #'* xy (list sx sy))))

(defun rotate (degrees)
  (let* ((radians (* degrees pi 1/180))
         (cos (cos radians))
         (sin (sin radians)))
    (lambda (xy)
      (destructuring-bind (x y) xy
        (list (- (* x cos) (* y sin))
              (+ (* y cos) (* x sin)))))))

(defun lift (fn)
  (lambda (things)
    (mapcar fn things)))

isomorphism 函数定义如下，递归地将形状解构为类型标签(兼作构造函数)和组件，对于点，应用变换函数:

(defun isomorphism (transform shape)
  (flet ((isomorphism (s) (isomorphism transform s)))
    (with-shape (constructor components) shape
      (apply constructor
             (if (eq constructor 'point)
                 (funcall transform components)
                 (mapcar #'isomorphism components))))))

我将 shape 和 with-shape 定义如下，以便对它们的表示方式进行一些抽象:

(defun shape (constructor components)
  (list* constructor components))

(defmacro with-shape ((constructor components) shape &body body)
  `(destructuring-bind (,constructor &rest ,components) ,shape
     ,@body))

我可以用简单的函数定义形状，这些函数可能会也可能不会执行一些检查和规范化:

(defun point (&rest coords)
  (shape 'point coords))

(defun triangle (a b c)
  (shape 'triangle (list a b c)))

(defun rectangle (x0 y0 x1 y1)
  (shape 'rectangle
         (list (min x0 x1)
               (min y0 y1)
               (max x0 x1)
               (max y0 y1))))

请注意构造函数如何始终与函数名称具有相同的符号。这可以通过宏来强制执行，您只需要返回组件列表:

(defconstructor point (x y)
  (list x y))

您还可以从上面的构建派生构造函数:

(defun rectangle-xywh (x y width height)
  (rectangle x y (+ x width) (+ y height)))

上面的形状是根据点定义的，但你可以想象形状是由更小的形状组合而成的:

(defun group (&rest shapes)
  (shape 'group shapes))

这是一个玩具示例，但作为起点可能很有用。

然后，如果你想制作一个形状并制作以 90° 为增量旋转的不同副本，你可以这样做:

(loop
  for angle from 0 below 360 by 90
  collect
  (isomorphism (compose (lift #'round)
                        (rotate angle)
                        (scale 2)
                        (translate 10 0))
               (group (triangle (point 0 0)
                                (point 1 0)
                                (point 0 1)))))