python - scipy 与 matlab 中的 dblquad 给出不同的结果

Question

我想对一个函数进行双重积分。但在使用 dblquad 而不是 scipy.integrate 和 matlab 时，我得到了不同的结果。我的双积分函数的 python 实现如下:

###Python implementation##
import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad

def InitialCondition(x_b, y_b, m10, m20, N0):

    IC = np.zeros((len(x_b)-1,len(y_b)-1))
    for i in xrange(len(x_b) - 1):
        for j in xrange(len(y_b) - 1):
            IC[i,j], abserr =  dblquad(ExponenIC, x_b[i], x_b[i + 1], lambda x: y_b[j], lambda x: y_b[j+1], args=(m10, m20, N0), epsabs=1.49e-15, epsrel=1.49e-15)
    return IC

def ExponenIC(x, y, m10, m20, N0):

    retVal = (16 * N0) / (m10 * m20) * (x / m10)* (y / m20) * np.exp(-2 * (x / m10) - 2 * (y / m20))

    return retVal


if __name__=='__main__':
    x_min, x_max  = 0.0004, 20.0676
    x_b = np.exp(np.linspace(np.log(x_min), np.log(x_max), 4))
    y_b = np.copy(x_b)
    m10, m20, N0 = 0.04, 0.04, 1
    print InitialCondition(x_b, y_b, m10, m20, N0)

但是如果我在 matlab 中重复相同的操作，使用等效的实现和相同的输入，如下所示:

%%%Matlab equivalent%%%
function IC = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)
for i = 1:length(x_b)-1
      for j = 1:length(y_b)-1
          IC(i, j) = dblquad(@ExponenIC, x_b(i), x_b(i+1), y_b(j), y_b(j+1), 1e-6, @quad, m10, m20, N0);
      end
end
return

function retVal = ExponenIC(x, y, m10, m20, N0)

 retVal = (16 * N0) / (m10*m20) * (x / m10) .* (y / m20) .* exp(-2*(x/m10) - 2 * (y/m20));  

return

% for calling
x_min = 0.0004;
x_max = 20.0676;
x_b  =  exp(linspace(log(x_min), log(x_max), 4));
y_b = x_b;
m10 =  0.04;
m20  =  0.04;
N0 = 1;
I = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)

Scipy dblquad 返回:

[[  2.84900512e-02   1.40266599e-01   7.34019842e-12]
 [  1.40266599e-01   6.90582083e-01   3.61383932e-11]
 [  7.28723691e-12   3.58776449e-11   1.89113430e-21]] 

和 Matlab dblquad 返回:

IC =
    28.4901e-003   140.2666e-003   144.9328e-012
   140.2666e-003   690.5820e-003   690.9716e-012
   144.9328e-012   690.9716e-012   737.2926e-021

我尝试更改容差和输入顺序，但两种解决方案始终不同。因此，我无法理解哪一个是准确的，我希望在 python 中它是正确的。有人可以建议这是否是 dblquad 求解器或我的代码中某处的错误吗？

Answer 1

从结果来看，Matlab 输出中重复出现 690(在 Python 的结果不同的地方)让人对 Matlab 的性能产生怀疑。

在 Matlab 中使用(已弃用的)函数 dblquad 的问题之一是，您为其指定的容差是绝对(据我了解)。这就是为什么当您指定 1e-6 时，1e-11 阶积分会出现错误。当您将其替换为 1e-12 时，计算时间会更长(因为现在必须以很高的精度计算较大的积分)，但大小为 1e-21 的最小积分仍然是错误的。

因此，您应该使用支持相对容错的例程，例如 integral2。

用 dblquad 替换 Matlab 行

IC(i, j) = integral2(@(x,y) ExponenIC(x,y, m10, m20, N0), x_b(i), x_b(i+1), y_b(j), y_b(j+1), 'RelTol', 1e-12);

我明白

0.0284900512006556     0.14026659933722     7.10653215130477e-12
0.14026659933722       0.690582082532588    3.51109000906259e-11 
7.10653215130476e-12   3.5110900090626e-11  1.78512164747727e-21 

这与 Python 输出大致一致。尽管如此，仍然存在很大差异。为了彻底解决这个问题，我分析计算了积分。具体结果是

 0.0284900512006717     0.140266599337199     7.28723691243472e-12 
 0.140266599337199      0.690582082532677     3.58776449039036e-11 
 7.28723691243472e-12   3.58776449039036e-11  1.86394265998016e-21

这两个包都没有达到预期的精度，但 Python/scipy 更接近。

<小时/>

为了完整起见，输出解析解的循环:

function IC = test(x_b, y_b, m10, m20, N0)
F = @(x,a)  -0.25*exp(-2*x/a)*(2*x+a);
for i = 1:length(x_b)-1
      for j = 1:length(y_b)-1
          IC(i,j) = (16 * N0) / (m10*m20) *(F(x_b(i+1),m10)-F(x_b(i),m10)) * (F(y_b(j+1),m20)-F(y_b(j),m20));
      end
end
end