python - 在Python中将点投影到n维空间的交集上

Question

(请原谅我的术语 - 我已经很久没有上高级数学课了)

假设我有 n 个“平面”，每个“平面”都与 m 维空间中的单个轴“垂直”。没有两个平面垂直于同一轴。我相信我可以有把握地假设所有n个平面之间都会有一些交叉点。

我想将点a投影到交点上并获取结果的位置向量。

例如:

我有一个法向量为 (0.75, 0, 0) 的平面，并且在位置 (0.25, 0, 1) 处有一个点 a。我想获得点a投影到平面上的位置向量。

另一个例子:

我有两个由法向量 (0.5, 0, 0) 和 (0, 1, 0) 表示的平面。我在位置 (0.1, 0.1, 0.1) 处有一个点a。我想获得投影到两个平面(一条线)相交结果上的点的位置向量

Answer 1

m 维空间中的“平面”是 (m-1) 维物体。它们通常被称为 hyperplanes ——平面的概括，即 3 维空间中的 2 维物体。要定义超平面，您不仅需要法向量，还需要一个点(想想二维空间中的线:所有平行线共享相同的方向，为了隔离一条，您需要指定一个点)。

我怀疑你的意思是所有超平面都穿过原点(在这种情况下，交点确实有一个点 - 原点本身)，我将你的“垂直于单个轴”解释为法向量都沿着某个坐标轴指向(换句话说，它们具有单个非零分量)。在这种情况下，要找到任意点(实际上是向量)在交点上的投影，您所要做的就是将该点(再次，实际上是向量)沿超平面法向量的分量设置为零。

让我看一下你的例子:

1. 法向量为 (0.75, 0, 0) 的 3 维空间中的(超)平面是 yz 平面:任意点的投影 < em>(x, y, z) 是 (0, y, z) — 超平面沿第一个坐标有一个法向量，因此将点的第一个分量设置为零(最后一次:矢量，真的)。特别是，(0.25, 0, 1) 投影到 (0, 0, 1)。
2. 垂直于(0.5, 0, 0)和(0, 1, 0)的平面是yz-和>xz-平面。它们的交点是 z 轴。点(0.1, 0.1, 0.1)的投影为(0, 0, 0.1)。