python - 带有粉红噪声的延迟微分方程

Question

我需要求解一组延迟微分方程，并且我想在这些方程中使用粉红噪声。

我尝试使用 Python 的 Pydelay 包来完成此操作，但问题是我需要生成噪声然后将其传递给模拟，或者在模拟期间生成噪声。第一个选项不起作用，因为该求解器中指定的参数需要保持不变，并且噪声随着时间的推移而变化。第二个选项不起作用，因为 Pydelay 仅支持生成噪声，其中每个样本都独立于其他样本，而粉红噪声则不然。

有人知道怎么做吗？

这是我的代码(我需要 I1 和 I2 是粉红噪声，而不是像我的代码中那样恒定):

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Aug  2 15:35:15 2016

@author: kasienka
"""
#!python
import pydelay
from time import time
import math
import numpy as np
from numpy import fft
from scipy import integrate
import matplotlib as mpl
mpl.use('Agg')
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.interpolate import griddata
import sys
import pylab as pl
from pydelay import dde23

# define the equations
eqns = {
    'y1' : 'I1 - y1(t-tau) + epsilon * pow(y2(t-tau), 1.1)',
    'y2' : 'I2 - y2(t-tau) + epsilon * pow(y1(t-tau), 1.1)'
    }
#define the parameters
params = {
    'I2' : 0.2,
    'I1' : 0.4,
    'tau': 1.31,
    'epsilon': 0.2
    }

# Initialise the solver
dde = dde23(eqns=eqns, params=params)

# set the simulation parameters
dde.set_sim_params(tfinal=50, dtmax=0.0001)

histdic = {
    'y1': lambda t: 0.2,
    'y2': lambda t: 0.4
    }
dde.hist_from_funcs(histdic, 1000)

# run the simulator
dde.run()
p1 = []
p2 = []
x1 = []
x2 = []
czasy = np.linspace(0, 50, 10000)
for el in times:
    x10 = dde.sol_spl(el)['y1']
    x20 = dde.sol_spl(el)['y2']
    prob1 = 1.0 / (1 + 3.14**(-(x10 - x20)) )
    prob2 = 1.0 / (1 + 3.14**(-(x20 - x10)) )
    p1.append(prob1)
    p2.append(prob2)
    x1.append(x10)
    x2.append(x20)
fig = pl.figure()
pl.plot(times, p1, label = '$p_1$')
pl.plot(times, p2, label = '$p_2$')
pl.xlabel('$time$')
pl.ylabel('$probabilities$')
pl.legend()
pl.savefig(sys.argv[1])

Answer 1

我假设您想要动态噪声。在这种情况下，您应该首先意识到有几种类型的微分方程具有根本不同的求解器:

• 时滞微分方程 (DDE) 通常通过以下任一方法求解:

  • 嵌入式多步 Runge-Kutta 方法，其中对过去进行插值(这就是 Pydelay 所做的)，

  • 单步积分器，积分步骤除以所有延迟。

• 随机微分方程 (SDE) 使用简单的单步方法求解(均基于欧拉方法)。多步方法仍然是一个热门话题，而嵌入式方法最近才被提出。

  我所知道的所有关于 SDE 的论文(理论和方法；但不可否认，它们并不多)，仅考虑白噪声(维纳过程)；认识粉红噪音本身就是一个问题。通过快速搜索，我只能找到 a paper on simulating white noise with a white-noise SDE .

• 随机延迟微分方程 (SDDE) 再次需要特殊的求解器。我对它们不是很熟悉，但显然你至少继承了 DDE 和 SDE 的所有限制。因此，最好的求解器是单步方法，其中积分步骤除以所有延迟。快速浏览一下文献，确实是这样做的。请注意，这并不能解决粉红噪声的问题。

正如已经说过的，Pydelay 使用带有插值的多步方法。这不是为正确处理随机性而设计的，也无法正确处理随机性(如果是的话，它已经是 SDE 的一个出色的求解器，即毫不延迟)。相反，它所做的是将多步方法视为单步方法，然后添加噪声。正如 Pydelay 的作者自己所说，这“相当粗糙”。此外，实际使用粉红噪声(即使使用粗略的方法)将需要您重新编程软件，并且可能会导致积分器的误差估计器出现固有问题。我强烈建议不要这样做。即使您成功了，使用高级 DDE 求解器的所有优势(例如自适应步骤)无论如何都会丢失，因此从头开始编写一个新的、更简单的积分器会更容易。

如果您确实需要这样做，我建议首先了解如何使用粉红噪声求解 SDE，然后将该方法扩展到 SDDE(希望这相当简单)。

<小时/>

^{¹ 如果您想要观测噪声，这很简单:只需将其添加到您的解决方案中即可。}