python - 如何使用 numpy python 更改 SVD 的顺序

Question

我正在使用奇异值分解 (SVD) 对图像进行主成分分析 (PCA)。

我有 17 张 20 X 20 的图像所以我创建了图像矩阵

M =  dim(400 X 17)

当我应用 SVD ( M = u @d @ v) 它给了我

u = dim(400 X 17)
d = dim(17 X 17)   
v = dim(17 X 17)

但我想找到 u = dim(400 X 400) 和 d =(400 X 400) 和 v =(400 X 17) 因为会有 400 个特征向量和 400 个特征值。

我什至尝试过转置但没有成功

我知道可能问题的标题不太清楚所以请随意更改，这里有一些与数据相关的信息

1. 我通过减去平均脸来集中数据

2. 我尝试通过查找协方差矩阵 (MM') 的特征向量来解决问题，但是当我尝试显示 PCA1 时它只显示黑色图像

请帮帮我

Answer 1

没有为矩形矩阵定义特征值，但奇异值是相关的。至于特征向量，您总是有一组跨越列和行空间的左右特征向量。

SVD与MM'和M'M

的特征值分解有关

• M'M = V (S'S) V'
• MM' = U (SS') U'

现在

• V 的列是 M'M 的特征向量，在您的情况下其大小为 (17 x 17)。因此 V 是 (17 x 17)
• U 的列是 MM' 的特征向量，在您的情况下其大小为 (400 x 400)。因此 U 是 (400 x 400)

现在 S 的大小是多少？ S 的非零元素(奇异值)是 M'M 和 MM' 的非零特征值的平方根。可以看出这两个具有相同的非零特征值集，因此在第一种情况下 S 是 (17 x 17) 而在第二种情况下 (400 x 400)。我们如何将其与我们的 SVD 是 M = USV' 的事实相协调？我们建立一个rectangular diagonal matrix (400 x 17) 对 17 个非零特征值求平方根。

您可以使用 scipy 中的 SVD:

import scipy

u, s, vh = scipy.linalg.svd(M, full_matrices=True)
print(u.shape, s.shape, vh.shape)

给

((400, 400), (17,), (17, 17))

要让您的 S 变为 (400 x 17):

s = np.concatenate([np.diag(s), np.zeros((400-17, 17))], axis=0)

检查 SVD 正确性:

res = u@s@vh
np.allclose(res, a)

True

低秩矩阵近似

有时你想用 r 的低阶 M_tilde 来近似你的矩阵 M，在在这种情况下，如果要最小化两者之间的 Frobenius 范数，只需保留 r 最大的奇异值(Eckhart-Young 定理)。U、S、V 的大小变为:(400 x r), (r x r), (r x 17)，其中 S 是对角线。

我不知道你使用的是哪个函数，但这是正在发生的事情:零奇异值被丢弃，因为 (m x n) 矩阵最多可以有秩 min(m, n)(在你的例子中是 17)。