python - 查找欠定线性系统中哪些变量是自由的

Question

我有一个欠定的线性方程组。例如，这可以通过 SimPy 解决，其中解决方案是一些自由变量的函数。我正在寻找的是那些自由变量。这组变量不是唯一的，但一个选项就足够了。例如

[1  0  1] [x1] = [1]
[0  1  0] [x2] = [1]
          [x3]

此处，x2 由第二个等式确定，x1 或 x3 均可用作自由变量。因此，例如集合 {x1} 是我的问题的有效解决方案

找到它的一种方法是使用 SymPy 并解析解决方案以找到其中使用了哪些变量。这比较麻烦。有更好的方法吗？最好没有任何符号计算(返回自由变量的索引)。

这里提出了同样的问题，但没有得到回答，因为原来提问者想问别的问题:How to determine which one is free variable in the result of sympy.linsolve

他只想要一个单一的系统解决方案。我想知道自由变量，甚至不需要知道解决方案。

Answer 1

这类似于 How can I find a basis for the column space of a rectangular matrix?除了您要求的是自由变量，这些变量对应于我们为列空间选择基础后剩余的列。因此，集合差异将一个问题减少到另一个问题。这是一个矩阵稍微复杂一些的例子:

import numpy as np
from scipy.linalg import lu
M = np.array([[1, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 7, 0]])
U = lu(M)[2]
basis_columns = {np.flatnonzero(U[i, :])[0] for i in range(U.shape[0])}
free_variables = set(range(U.shape[1])) - basis_columns

答案:{1, 3}。

警告:所有这些都对浮点错误很敏感，因此如果您在输入中有精确的有理数并希望原样保留它们，SymPy 仍然是首选。