python - 这个解三次方程的函数有什么问题？

Question

我正在使用 Python 2 和维基百科文章“三次函数”中给出的相当简单的方法。这也可能是我为了创建标题中提到的函数而必须定义的立方根函数的问题。

# Cube root and cubic equation solver
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from __future__ import division
import cmath
from cmath import log, sqrt

def cbrt(x):
    """Computes the cube root of a number."""
    if x.imag != 0:
        return cmath.exp(log(x) / 3)
    else:
        if x < 0:
            d = (-x) ** (1 / 3)
            return -d
        elif x >= 0:
            return x ** (1 / 3)

def cubic(a, b, c, d):
    """Returns the real roots to cubic equations in expanded form."""
    # Define the discriminants
    D = (18 * a * b * c * d) - (4 * (b ** 3) * d) + ((b ** 2) * (c ** 2)) - \
    (4 * a * (c ** 3)) - (27 * (a ** 2) * d ** 2)
    D0 = (b ** 2) - (3 * a * c)
    i = 1j  # Because I prefer i over j
    # Test for some special cases
    if D == 0 and D0 == 0:
        return -(b / (3 * a))
    elif D == 0 and D0 != 0:
        return [((b * c) - (9 * a * d)) / (-2 * D0), ((b ** 3) - (4 * a * b * c)
        + (9 * (a ** 2) * d)) / (-a * D0)]
        else:
            D1 = (2 * (b ** 3)) - (9 * a * b * c) + (27 * (a ** 2) * d)
            # More special cases
            if D != 0 and D0 == 0 and D1 < 0:
                C = cbrt((D1 - sqrt((D1 ** 2) - (4 * (D0 ** 3)))) / 2)
            else:
                C = cbrt((D1 + sqrt((D1 ** 2) - (4 * (D0 ** 3)))) / 2)
                u_2 = (-1 + (i * sqrt(3))) / 2
                u_3 = (-1 - (i * sqrt(3))) / 2
                x_1 = (-(b + C + (D0 / C))) / (3 * a)
                x_2 = (-(b + (u_2 * C) + (D0 / (u_2 * C)))) / (3 * a)
                x_3 = (-(b + (u_3 * C) + (D0 / (u_3 * C)))) / (3 * a)
                if D > 0:
                    return [x_1, x_2, x_3]
                else:
                    return x_1

我发现这个函数能够求解一些简单的三次方程:

print cubic(1, 3, 3, 1)
-1.0

不久前，我已经达到可以求解具有两个根的方程式的地步。我刚刚完成了重写，现在它已经失控了。例如，这些系数是 (2x - 4)(x + 4)(x + 2) 的扩展形式，它应该返回 [4.0, -4.0, -2.0] 或类似的东西:

print cubic(2, 8, -8, -32)
[(-4+1.4802973661668753e-16j), (2+2.9605947323337506e-16j), (-2.0000000000000004-1.1842378929335002e-15j)]

这是我犯的数学错误还是编程错误？

更新:谢谢大家的回答，但是这个函数的问题比我到目前为止迭代的要多。例如，我经常遇到与立方根函数相关的错误:

print cubic(1, 2, 3, 4)  # Correct solution: about -1.65
...
    if x > 0:
TypeError: no ordering relation is defined for complex numbers
print cubic(1, -3, -3, -1)  # Correct solution: about 3.8473
    if x > 0:
TypeError: no ordering relation is defined for complex numbers

Answer 1

Wolfram Alpha confirms你最后一个立方体的根确实是

(-4, -2, 2)

不是你说的

... it should return [4.0, -4.0, -2.0]

尽管有那个(我认为)错字，你的程序还是给出了

[(-4+1.4802973661668753e-16j), (2+2.9605947323337506e-16j), (-2.0000000000000004-1.1842378929335002e-15j)]

10**(-15) 的精度是 完全相同的根 作为正确的解决方案。正如其他人所说，微小 虚部可能是由于四舍五入。

请注意，如果您使用类似 Cardano's 的解决方案，则必须使用精确的算法才能始终正确取消。 .这是 MAPLE 或 Mathematica 等程序存在的原因之一，公式与实现之间经常存在脱节。

要在纯 Python 中仅获取数字的实部，您可以调用 .real。示例:

a = 3.0+4.0j
print a.real
>> 3.0