C# MathNet FFT 定义

Question

从 MathNet 测试 FFT 时遇到一些问题:这个想法是，如果我将 FFT 应用于高斯变量的特征函数，我应该找到高斯密度函数。

当我绘制 VectorFFT 时，该图看起来确实是一个密度函数，但在零时它没有值 1，它的值为 1.4689690914109。

缩放一定有问题。我在 Fourier.Inverse 中尝试了所有类型的 FourierOptions 以及 PI、2PI、sqrt(2PI) 的所有类型的除法/乘法，但没有任何东西给我密度函数中心的值 1。

此外，由于存在各种傅里叶变换及其逆变换的定义，我想知道哪一个是由 MathNet 实现的，我在文档中找不到它。

有什么想法吗？

public void DensityGaussian()
    {
        double eta = 0.1;   //step in discrete integral
        int pow2 = 256;     // N^2
        double mu = 0;      // centred gaussian
        double sigma = 1;   // with unitary variance

        //FFT
        double lambda = 2 * System.Math.PI / (pow2 * eta);
        double b = 0.5 * pow2 * lambda;

        Complex[] VectorToFFT = new Complex[pow2];
        for (int j = 0; j < pow2; j++)
        {
            double z = eta * j;

            if (z == 0) { z = 0.00000000000001; }

            VectorToFFT[j] = System.Numerics.Complex.Exp(new Complex(0, b * z));
            VectorToFFT[j] *= (System.Numerics.Complex.Exp(new Complex(
                              -sigma*sigma*z*z, mu * z))); //char function of gaussian
        }

        Fourier.Inverse(VectorToFFT, FourierOptions.NoScaling);

        //scaling
        for (int i = 0; i < pow2; i++)
        {
            VectorToFFT[i] /= (2 * System.Math.PI); //test
        }


        Console.WriteLine("Is density?");
        Assert.IsTrue(1 == 1);
    }

Answer 1

Math.NET Numerics 支持所有常见的 DFT定义，可通过 FourierOptions 标志枚举进行控制。它们在指数和缩放比例上本质上是不同的。

FourierOptions docs给出一些关于选项如何影响有效定义的提示，本质上:

• InverseExponent:在指数中使用负号(默认使用正号)。一个带有负号的突出实现是数字食谱。
• AsymmetricScaling/NoScaling:不是默认的对称缩放 sqrt(1/N) 要么只在逆变换中缩放 1/N(如 Matlab)或不缩放完全没有(比如数字食谱)。显然，没有缩放 ifft(fft(x)) != x。

也许Calculating a density from the characteristic function using fft in R中的答案可以在特定用例上提供帮助。