python - If-Then-ElseIf-Then 在混合整数线性规划中

Question

我试图在 Python 的 PuLP 中构建 If-Then-Else-If... 条件。

我查看了 MIP 中的 If-Then 和 If-Then-Else。但是，我试图了解如何将选择进一步向下传播到下一组约束以及如何处理 2 个以上的决策分支。

为了解释，请考虑 image shown here 中显示的条件约束:

x 和 y 是我的决策变量。基本上，这读作:

if x=0: C2>0 
elif x=1: C10>0
elif x=2: C3>0

if x=0 and y=0: 
    C4>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=0 and y=1: 
    C5>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=0: 
    C6>0; 
    C9>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=1: 
    C7>0; 
    C9>0; 
    C10>0

我知道如何在简单的 if-then-else 情况下使用“Big M”技术。例如，如果问题是:

Problem: 
   if (x = 1) then (A < 0) else (B < 0)
Solution: 
   problem += A < M1*(1-x)
   problem += B < M2*x

我不明白的是，如何将其更改为:

1. 如果有超过 2 个分支，则它不再是 x 和 (1-x) 的乘法。
2. 如果在原始决策之下有后续分支，并且有更多的决策都依赖于来自上面的值。

Answer 1

这里实际上涉及三个步骤:

首先:

重新制定 x 变量，使它们成为二进制而不是 {0,1,2}。 (严格来说，这不是必需的，但我认为它使解决方案更清晰，更容易泛化。)

因此，引入三个新的二进制变量x0、x1、x2，并对其进行如下约束:

x0 >= 1 - x
x0 <= 1 - 0.5x

x2 >= x - 1
x2 <= 0.5 x

x1 = x - 2x2

因此:如果 x = 0，则前两个约束需要 x0 = 1，后两个需要 x2 = 0 并且最后需要 x1 = 0。类似地，如果 x = 1 或 x = 2。 (你应该仔细检查我的逻辑。)

您的模型将包括您的原始 x 变量和新的二进制变量。

第二:

创建一个名为 w_ijkl 的新二元决策变量，如果 x0 = i, x1 = j, 则等于 1 x2 = k 和 y = l，对于 i、j、k、l 在 {0,1} 中。通过以下约束强制执行此定义:

w_ijkl >= i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
          k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y) - 3
w_ijkl <= 0.25 * [i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
                  k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y)]

第一个约束表示如果所有四个变量都等于它们的目标(i、j 等)，那么 w_ijkl 必须等于 1，否则它可以等于 0。第二个约束表示如果所有四个都等于它们的目标，则 w_ijkl 可以等于 1，否则它必须等于 0。

因此，例如，w_0110 获得这些约束:

w_0110 >= 1-x0 + x1 + x2 + (1-y) - 3
w_0110 <= 0.25 * [1-x0 + x1 + x2 + (1-y)]

第三:

根据需要使用 big-M 来打开和关闭约束。因此，例如，要在 x=2 和 y=0 时要求 C6 >= 0，请使用:

C6 >= M * (w_0010 - 1)

(顺便说一句，通常您不能在 MIP 中使用严格的不等式约束——您需要大于或等于或小于或等于约束。)