python - 求解 C*M = N(C、M 和 N 是矩阵)，其中 M 已知且 N 的结构在 SymPy 中给出

Question

我遇到过这个矩阵乘法问题，其中 M 是一些具有已知值的非奇异 3x3 矩阵(即 M = sympy.Matrix([[1, 0, 0],[0, 2, 0],[0, 0, 3]])) C是一个待确定的3x3矩阵，N的形式如下:1. N 的第一行和第三行与 C 相同(例如 N.row(0)[i] = C.row(0)[i] for 0<=i<=2)2. N的第2行元素是M中相应列的元素之和(例如N.row(1)[1] = sum(M.col(1)))

在网上搜索一种将这个问题表达为方程组的方法后，我什么也没找到。我一直在尝试使用符号矩阵来解决这个问题，并通过或通过解决形式为 Ax=b 的三个不同系统，每个系统由 C 的一行乘以 M 组成，b 作为 N 的一列，使得 A = M.T, x = (C.row(i)).T 且 b = N。

象征性地求解它会导致一个荒谬的表达式，甚至无法理解，而且我无法从中得到数值解。

我的最新尝试如下:

import sympy as sp
def func(mat=matrix([[1, 1, 1], [0, 2, 2], [1, 4, 5]])):
    c11, c12, c13, c21, c22, c23, c31, c32, c33 = sp.symbols('c11, c12, c13, c21, c22, c23, c31, c32, c33')
    M = mat.T

    b1 = sp.Matrix([[x, y, z]]).T
    b2 = sp.Matrix([[sum(M.col(0)), sum(M.col(1)), sum(M.col(2))]]).T
    b3 = sp.Matrix([[a, b, c]]).T

    M1 = M.col_insert(3, b1)
    M2 = M.col_insert(3, b2)
    M3 = M.col_insert(3, b3)

    C1 = sp.linsolve(M1, (x, y, z))
    C2 = sp.linsolve(M2, (x, y, z))
    C3 = sp.linsolve(M3, (a, b, c))

    return C1, C2, C3

调用此函数会产生以下结果:

>>> func()
({(x + y - z, -x/2 + 2*y - 3*z/2, -y + z)}, {(-3, -17/2, 6)}, {(a + b - c, -a/2 + 2*b - 3*c/2, -b + c)})

Answer 1

我不会声称我理解你的代码，但解决方案实际上很容易猜到:C 和 N 的第一行和第三行必须是左特征向量M 的特征值 1 在一般情况下不存在或必须为零。中间行的要求通过 C 全部为 1 来解决，并且由于 M 是非奇异的，所以这是唯一的解决方案。

让我们使用古老的 numpy 来进行数值检查:

import numpy as np
M = np.random.random((3, 3))
M
# array([[ 0.39632944,  0.82429087,  0.88705214],
#        [ 0.39092656,  0.63228762,  0.54931835],
#        [ 0.76935833,  0.40833527,  0.46202912]])
C = np.outer((0,1,0),(1,1,1))
C
# array([[0, 0, 0]
#        [1, 1, 1],                                              
#        [0, 0, 0]])
N = np.outer((0,1,0),M.sum(0))
N
# array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
#        [ 1.55661432,  1.86491377,  1.89839961],
#        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ]])
np.allclose(C @ M , N)
# True