c# - 计算平面上封闭多边形的面积

Question

我正在尝试计算位于平面上的多边形的面积(形成非相交封闭形状的共面点的集合)，并且我知道一种可以计算 area of an irregular (or any) polygon in two dimensions 的方法- 但不是三个。我的解决方案是旋转平面，使其在 z 方向上的法线为 0(因此我可以将其视为 2D)，然后运行 ​​2D 区域函数。

问题是我不知道如何实际确定旋转轴以及如何在 Z 轴上展平平面。我通过我能找到的最简单的 3 维旋转方法进行旋转:Rotation Matrices .因此，鉴于我正在尝试使用旋转矩阵进行旋转，我如何计算出旋转平面的角度，使其与另一个向量的方向相同？我实际上不太了解微积分或欧几里得几何，因此无论哪种解决方案都需要我自学最少的两者都是理想的解决方案。有没有更好的办法？

下面是我的尝试，它甚至没有接近使平面在 Z 轴上平坦。这是我的“Surface”类的一个实例方法，它是我的“Plane”类的派生类，并且有一个共面点数组 (IntersectPoints) 形成一个封闭的多边形。

 public virtual double GetArea()
    {
        Vector zUnit = new Vector(0, 0, 1); //vector perprendicualr to z
        Vector nUnit = _normal.AsUnitVector();
        Surface tempSurface = null;
        double result = 0;

        if (nUnit != zUnit && zUnit.Dot(nUnit) != 0) //0 = perprendicular to z
        {
            tempSurface = (Surface)Clone();
            double xAxisAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.X);
            double yAxisAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.Y);
            double rotationAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.Z);
            tempSurface.Rotate(xAxisAngle, yAxisAngle, rotationAngle); //rotating plane so that it is flat on the Z axis
        }
        else
        {
            tempSurface = this;
        }

        for (int x = 0; x < tempSurface.IntersectPoints.Count; x++) //doing a cross sum of each point
        {
            Point curPoint = tempSurface.IntersectPoints[x];
            Point nextPoint;

            if (x == tempSurface.IntersectPoints.Count - 1)
            {
                nextPoint = tempSurface.IntersectPoints[0];
            }
            else
            {
                nextPoint = tempSurface.IntersectPoints[x + 1];
            }

            double cross1 = curPoint.X * nextPoint.Y;
            double cross2 = curPoint.Y * nextPoint.X;
            result += (cross1 - cross2); //add the cross sum of each set of points to the result
        }

        return Math.Abs(result / 2); //divide cross sum by 2 and take its absolute value to get the area.
    }

这是我的核心旋转和获取轴角度的方法:

 private Vector Rotate(double degrees, int axis)
    {
        if (degrees <= 0) return this;
        if (axis < 0 || axis > 2) return this;

        degrees = degrees * (Math.PI / 180); //convert to radians
        double sin = Math.Sin(degrees);
        double cos = Math.Cos(degrees);
        double[][] matrix = new double[3][]; 

        //normalizing really small numbers to actually be zero
        if (Math.Abs(sin) < 0.00000001) 
        {
            sin = 0;
        }
        if (Math.Abs(cos) < 0.0000001)
        {
            cos = 0;
        }

        //getting our rotation matrix
        switch (axis)
        {
            case 0: //x axis
                matrix = new double[][] 
                { 
                    new double[] {1, 0, 0},
                    new double[] {0, cos, sin * -1},
                    new double[] {0, sin, cos}
                };
                break;
            case 1: //y axis
                matrix = new double[][] 
                { 
                    new double[] {cos, 0, sin},
                    new double[] {0, 1, 0},
                    new double[] {sin * -1, 0, cos}
                };
                break;
            case 2: //z axis
                matrix = new double[][] 
                { 
                    new double[] {cos, sin * -1, 0},
                    new double[] {sin, cos, 0},
                    new double[] {0, 0, 1}
                };
                break;
            default:
                return this;
        }

        return Physics.Formulae.Matrix.MatrixByVector(this, matrix);
    }

public static double GetAxisAngle(Point a, Point b, Axes axis, bool inDegrees = true)
    { //pretty sure this doesnt actually work
        double distance = GetDistance(a, b);
        double difference;

        switch (axis)
        {
            case Axes.X:
                difference = b.X - a.X;
                break;
            case Axes.Y:
                difference = b.Y - a.Y;
                break;
            case Axes.Z :
                difference = b.Z - a.Z;
                break;
            default:
                difference = 0;
                break;
        }

        double result = Math.Acos(difference / distance);

        if (inDegrees == true)
        {
            return result * 57.2957; //57.2957 degrees = 1 radian
        }
        else
        {
            return result;
        }
    }

Answer 1

一个可靠的方法是对每条边的顶点进行叉积求和。如果您的顶点共面，这将产生平面的法线，其长度是闭合多边形面积的 2 倍。

请注意，此方法与您问题中链接的 2D 方法非常相似，后者实际上计算 3D 叉积的 2D 等效值，对所有边求和，然后除以 2。

Vector normal = points[count-1].cross(points[0]);
for(int i=1; i<count; ++i) {
    normal += points[i-1].cross(points[i]);
}
double area = normal.length() * 0.5;

这种方法的优点:

• 如果你的顶点只是大约平面，它仍然会给出正确的答案
• 它不依赖于平面的角度。
• 事实上，您根本不需要处理角度。
• 如果您想知道平面方向，您已经有了法线。

一个可能的困难:如果您的多边形非常小，并且离原点很远，您可能会遇到浮点精度问题。如果可能出现这种情况，您应该首先平移所有顶点，以便一个顶点位于原点，如下所示:

Vector normal(0,0,0);
Vector origin = points[count-1]; 
for(int i=1; i<count-1; ++i) {
    normal += (points[i-1]-origin).cross(points[i]-origin);
}
double area = normal.length() * 0.5;