python - 向量和数组的 np array 点积

Question

我在理解 numpy 点函数和广播背后的工作时遇到问题。下面是我试图理解的片段

a=np.array([[1,2],[3,5]])

如果我们检查 a 的形状a.shape它将是 (2,2)

b=np.array([3,6])b.shape 是 (2,)

问题1:b是列向量还是行向量？在提供输入时，它似乎 b 是行向量，但形状将其显示为具有 2 行的列向量。我的理解有什么问题？

现在如果做a.dot(b)它导致数组([15,39])

问题 2:根据矩阵乘法，如果 a 是 m*n 那么 b 必须是 n*k因为 a 是 2*2，所以 b 必须是 2*1。这是否验证 b 是一个列向量，否则如果它是一个行向量，则矩阵乘法是不可能的，但考虑到 ，点积的输出确实根据矩阵乘法给出了值>b 作为列向量并广播它

现在 b.dot(a) 也是可能的，结果是数组([21,36])和这让我大吃一惊。他们如何检查矩阵乘法向量的兼容性以及他们如何计算？在至少一种情况下，他们必须抛出乘法不兼容维度的错误。但它没有显示，他们正在计算这两种情况下的结果。

Answer 1

numpy 的编程方式意味着一维数组 shape=(n,) 被视为既不列向量也不是行向量，但可以 < strong>表现基于点积中的位置。为了更好地解释这一点，请考虑将非对称数组的情况与对称数组的情况进行比较:

>>>a=numpy.arange(3)
>>>a.shape=(1,3)
>>>a
array([0,1,2])

>>>b=numpy.arange(9)
>>>b.shape=(3,3)
>>>b
array([0,1,2]
      [3,4,5]
      [6,7,8])

然后定义一个(3,)向量:

>>>c=numpy.arange(3)
>>>c
array([0,1,2])
>>>c.shape
(3,)

在正常的线性代数中，如果 c 是一个列向量，我们希望 a.c 是一个常量，1x3 矩阵点和 3x1 列向量，c.a 产生一个 3x3 矩阵，3x1 列乘以 1x3 行。在 python 中这样做你会发现 a.dot(c) 会产生一个 (1,) 数组(我们期望的常量)，但是 c.dot(a)将引发错误:

>>>d=a.dot(c)
d.shape=(1,)
>>>e=c.dot(a)
ValueError: shapes (3,) and (1,3) not aligned: 3 (dim 0) != 1 (dim 0)

出了问题的是 numpy 根据 a 的第一个维度检查了 c 的唯一 维度，而不是根据 a 检查了 c 的最后 维度。根据 numpy 一维数组只有一维，所有检查都是针对该维进行的。因此，我们发现一维数组并不严格充当列或行向量。例如。 b.dot(c) 根据 c 的一维检查 b 的第二维(c 行为 类似于列向量)和 c.dot(b) 根据 b 的第一维检查 c 的一维(c 充当 像一个行向量)。因此，它们都有效:

>>>f=b.dot(c)
>>>f
array([ 5, 14, 23])

>>>g=c.dot(b)
>>>g
array([15, 18, 21]) 

为避免这种情况，您必须为数组提供第二个维度，使其成为行或列向量。在这个例子中，你会明确地说 c.shape=(3,1) 用于列向量或 c.shape=(1,3) 用于行向量。

>>>c.shape=(3,1)
>>>c.dot(a)
array([0,0,0]
      [0,1,2]
      [0,2,4])
>>>h=c.dot(b)
ValueError: shapes (3,1) and (3,3) not aligned: 1 (dim 1) != 3 (dim 0)


>>>c.shape=(1,3) 
>>>i=c.dot(b)
>>>i
array([[15, 18, 21]])

要点是:根据numpy，行向量和列向量有两个维度