python - 如何规范化 numpy(实数)傅里叶变换的频谱，以便应用 parseval 定理？

Question

目前，我正在考虑拍摄图像及其光谱。现在 Parceval 的定理说两者应该具有相等的能量。然而，当我尝试在某些图像上对此进行测试时，numpy 真实 FFT 函数似乎并非如此。

这是我用于测试的代码:

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg'))
spectral_im = np.fft.rfft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im))

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

我预计每张图像的规范之间的差异(大约)为 0，但对于我尝试过的每张图像，它都相差一个数量级。谁能看出我做错了什么？

在答案的帮助下，这里是更正后的代码(注意额外转换为 float64，否则它们仍然不相等):

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg')).astype('float64')
spectral_im = np.fft.fft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im) ** 2)

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

Answer 1

Parceval 定理指出信号的平方 上的积分与傅里叶变换相同。所以getNorm函数应该定义为

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im)**2)

然后是 FFT 归一化问题。您需要通过图像区域(维度的乘积)对 FFT 进行归一化:

x = np.random.rand(321, 456)
f = np.fft.fft2(x) / np.sqrt(321 * 456)
print(np.sum(np.abs(x)**2))  # 48654.563992061871
print(np.sum(np.abs(f)**2))  # 48654.563992061878

最后，不要使用rfft 来验证Parceval 定理。 rfft 的问题在于它知道频谱是对称的，因此它会跳过负半部分。但是，积分(总和)中缺少这一半。这听起来好像它应该偏离 2 倍，但事实并非如此，因为 DC(均值)分量由 rfft 完全保留(可以找到更多详细信息 here )。最好使用普通的 FFT (fft2)，省去一些麻烦。