python - Scipy odeint 给出 lsoda 警告

Question

我完全不熟悉编码，我想用数值方法求解这 5 个微分方程。我拿了python template并将其应用于我的案例。这是我写的简化版本:

import numpy as np
from math import *
from matplotlib import rc, font_manager
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

#Constants and parameters
alpha=1/137.
k=1.e-9     
T=40.    
V= 6.e-6
r = 6.9673e12
u = 1.51856e7

#defining dy/dt's
def f(y, t):
       A = y[0]
       B = y[1]
       C = y[2]
       D = y[3]
       E = y[4]
       # the model equations
       f0 = 1.519e21*(-2*k/T*(k - (alpha/pi)*(B+V))*A) 
       f1 = (3*B**2 + 3*C**2 + 6*B*C + 2*pi**2*B*T + pi**2*T**2)**-1*(-f0*alpha/(3*pi**3) - 2*r*(B**3 + 3*B*C**2 + pi**2*T**2*B) - u*(D**3 - E**3))
       f2 = u*(D**3 - E**3)/(3*C**2)
       f3 = -u*(D**3 - E**3)/(3*D**2)
       f4 = u*(D**3 - E**3)/(3*E**2) + r*(B**3 + 3*B*C**2 + pi**2*T**2*B)/(3*E**2)
       return [f0, f1, f2, f3, f4]

# initial conditions
A0 = 2.e13
B0 = 0. 
C0 = 50.           
D0 = 50.
E0 = C0/2.

y0 = [A0, B0, C0, D0, E0]       # initial condition vector
t  = np.linspace(1e-15, 1e-10, 1000000)   # time grid

# solve the DEs
soln = odeint(f, y0, t, mxstep = 5000)
A = soln[:, 0]
B = soln[:, 1]
C = soln[:, 2]
D = soln[:, 3]
E = soln[:, 4]

y2 = [A[-1], B[-1], C[-1], D[-1], E[-1]]  
t2  = np.linspace(1.e-10, 1.e-5, 1000000)  
soln2 = odeint(f, y2, t2, mxstep = 5000)
A2 = soln2[:, 0]
B2 = soln2[:, 1]
C2 = soln2[:, 2]
D2 = soln2[:, 3]
E2 = soln2[:, 4]

y3 = [A2[-1], B2[-1], C2[-1], D2[-1], E2[-1]]     
t3  = np.linspace(1.e-5, 1e1, 1000000)
soln3 = odeint(f, y3, t3)
A3 = soln3[:, 0]
B3 = soln3[:, 1]
C3 = soln3[:, 2]
D3 = soln3[:, 3]
E3 = soln3[:, 4]

#Plot
rc('text', usetex=True)
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(t, B, 'k')
plt.semilogx(t2, B2, 'k')
plt.semilogx(t3, B3, 'k')

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.loglog(t, A, 'k')
plt.loglog(t2, A2, 'k')
plt.loglog(t3, A3, 'k')

plt.show()

我收到以下错误:

lsoda--  warning..internal t (=r1) and h (=r2) are         
   such that in the machine, t + h = t on the next step 
   (h = step size). solver will continue anyway         
  In above,  R1 =  0.2135341098625E-06   R2 =  0.1236845248713E-22

对于某些参数集，在 odeint 中使用 mxstep 时(也尝试了 hmin 和 hmax 但没有发现任何区别) ，虽然错误仍然存​​在，但我的图表看起来不错并且没有受到影响，但大多数时候它们是。有时我得到的错误要求我使用 odeint 选项 full_output=1 运行，这样做我得到:

A2 = soln2[:, 0]
TypeError: tuple indices must be integers, not tuple

我在搜索时不明白这是什么意思。

我想了解问题出在哪里，如何解决。odeint 是否适合我正在尝试做的事情？

Answer 1

在 lsoda 警告中，t 指当前时间值，h 指当前积分步长。由于舍入误差(即 r1 + r2 == r1)，步长变得非常接近于零，以至于当前时间加上步长等于当前时间。当您正在集成的 ODE 表现不佳时，通常会出现此类问题。

在我的机器上，警告消息似乎只在计算 soln2 时出现。在这里，我绘制了出现警告的区域中每个参数的值(请注意，为清楚起见，我已切换到线性轴)。我用红线标记了 lsoda 错误首次出现的时间步长(在 r1 = 0.2135341098625E-06):

警告消息的出现与 E 中的“扭结”重合并非巧合!

我怀疑正在发生的事情是扭结代表 E 梯度中的奇点，这迫使求解器采取越来越小的步长，直到步长达到浮点精度的极限。事实上，您可以看到 D 中的另一个拐点与 B 中的“摆动”重合，可能是由相同的现象引起的。

有关如何在积分 ODE 时处理奇点的一些一般性建议，请查看 section 5.1.2 here (或任何关于 ODE 的体面教科书)。

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full_output=True 出现错误，因为在这种情况下 odeint 返回一个包含解决方案的元组和一个包含额外输出的 dict信息。尝试像这样解包元组:

soln, info = odeint(..., full_output=True)