python - 您将如何实现除数函数？

Question

divisor function是自然数的约数之和。

我做了一点研究发现 this如果你想找到给定自然数 N 的除数函数，这是一个非常好的方法，所以我尝试用 Python 编写它:

def divisor_function(n):
    "Returns the sum of divisors of n"
    checked = [False]*100000
    factors = prime_factors(n)
    sum_of_divisors = 1 # It's = 1 because it will be the result of a product
    for x in factors:
        if checked[x]:
            continue
        else:
            count = factors.count(x)
            tmp = (x**(count+1)-1)//(x-1)
            sum_of_divisors*=tmp
            checked[x]=True
    return sum_of_divisors

它工作得很好，但我相信它可以改进(例如:我创建了一个包含 100000 元素的列表，但我没有使用其中的大部分)。

您将如何改进/实现它？

附言这是 prime_factors:

def prime_factors(n):
    "Returns all the prime factors of a positive integer"
    factors = []
    d = 2
    while (n > 1):
        while (n%d==0):
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1
        if (d*d>n):
            if (n>1): factors.append(int(n));
            break;
    return factors

Answer 1

在计算除​​数之和时，您需要以 p₁^{k< 的形式对 n 进行因式分解sub>1} p₂^k₂ ... — 也就是说，您需要分解中每个素数的指数。目前，您正在通过计算素数的平面列表来执行此操作，然后调用 count 来计算指数。这是浪费时间，因为您首先可以轻松地以您需要的格式生成质因数分解，如下所示:

def factorization(n):
    """
    Generate the prime factorization of n in the form of pairs (p, k)
    where the prime p appears k times in the factorization.

    >>> list(factorization(1))
    []
    >>> list(factorization(24))
    [(2, 3), (3, 1)]
    >>> list(factorization(1001))
    [(7, 1), (11, 1), (13, 1)]
    """
    p = 1
    while p * p < n:
        p += 1
        k = 0
        while n % p == 0:
            k += 1
            n //= p
        if k:
            yield p, k
    if n != 1:
        yield n, 1

上面代码注释:

1. 我已转换此代码，使其生成分解，而不是构建列表(通过重复调用 append)并返回它。在 Python 中，这种转换几乎总是一种改进，因为它允许您在生成元素时一个一个地使用它们，而不必将整个序列存储在内存中。

2. 这是 doctests 需要的那种功能工作顺利。

现在计算除数之和非常简单:无需存储已检查的因子集或计算每个因子出现的次数。事实上，您只需一行即可完成:

from operator import mul

def sum_of_divisors(n):
    """
    Return the sum of divisors of n.

    >>> sum_of_divisors(1)
    1
    >>> sum_of_divisors(33550336) // 2
    33550336
    """
    return reduce(mul, ((p**(k+1)-1) // (p-1) for p, k in factorization(n)), 1)