python - python 中的赫斯特指数

Question

from datetime import datetime
from pandas.io.data import DataReader
from numpy import cumsum, log, polyfit, sqrt, std, subtract
from numpy.random import randn

def hurst(ts):

    """Returns the Hurst Exponent of the time series vector ts"""
    # Create the range of lag values
    lags = range(2, 100)

    # Calculate the array of the variances of the lagged differences
    # Here it calculates the variances, but why it uses 
    # standard deviation and then make a root of it?
    tau = [sqrt(std(subtract(ts[lag:], ts[:-lag]))) for lag in lags]

    # Use a linear fit to estimate the Hurst Exponent
    poly = polyfit(log(lags), log(tau), 1)

    # Return the Hurst exponent from the polyfit output
    return poly[0]*2.0


# Download the stock prices series from Yahoo
aapl = DataReader("AAPL", "yahoo", datetime(2012,1,1), datetime(2015,9,18))

# Call the function
hurst(aapl['Adj Close'])

从这段估计Hurst Exponent的代码来看，当我们要计算滞后差的方差时，为什么还要用一个标准差，还要取平方根呢？困惑了很久，不知道为什么别人没有同样的困惑。我误解了它背后的数学原理吗？谢谢!

Answer 1

我也很困惑。我也不明白 std 的 sqrt 来自哪里，并且花了 3 天时间试图弄清楚。最后我注意到 QuantStart 归功于 Tom Starke 博士，他使用的代码略有不同。 Tom Starke 博士感谢 Ernie Chan 博士，并转至 his blog .我能够找到足够的信息来根据他的原则编写我自己的代码。这不使用 sqrt，使用方差而不是标准差，并在末尾使用 2.0 除数而不是 2.0 乘数。最后，它似乎给出了与您发布的 quantstart 代码相同的结果，但我能够从第一原则理解它，我认为这很重要。我整理了一个 Jupyter Notebook 使它更清晰，但我不确定我是否可以在这里发布它，所以我会尽力在这里解释。先贴代码，再贴解释。

lags = range(2,100)
def hurst_ernie_chan(p):

    variancetau = []; tau = []

    for lag in lags: 

        #  Write the different lags into a vector to compute a set of tau or lags
        tau.append(lag)

        # Compute the log returns on all days, then compute the variance on the difference in log returns
        # call this pp or the price difference
        pp = subtract(p[lag:], p[:-lag])
        variancetau.append(var(pp))

    # we now have a set of tau or lags and a corresponding set of variances.
    #print tau
    #print variancetau

    # plot the log of those variance against the log of tau and get the slope
    m = polyfit(log10(tau),log10(variancetau),1)

    hurst = m[0] / 2

    return hurst

Chan 博士在此页面上没有提供任何代码(我相信他在 MATLAB 中工作，而不是 Python)。因此，我需要根据他在博客中给出的注释和他对博客上提出的问题的回答，将我自己的代码放在一起。

1. 陈博士指出，如果 z 是对数价格，则以 τ 为间隔采样的波动率是波动率 (τ)=√(Var(z(t)-z(t-τ)))。对我来说，另一种描述波动率的方法是标准差，所以 std(τ)=√(Var(z(t)-z(t-τ)))

2. std 只是方差根，所以 var(τ)=(Var(z(t)-z(t-τ)))

3. 陈博士接着指出:一般来说，我们可以写成 Var(τ) ∝ τ^(2H)，其中 H 是 Hurst 指数

4. 因此 (Var(z(t)-z(t-τ))) ∝ τ^(2H)

5. 对每边取对数，我们得到 log (Var(z(t)-z(t-τ))) ∝ 2H log τ

6. [ log (Var(z(t)-z(t-τ)))/log τ ]/2 ∝ H(给出 Hurst 指数)，我们知道最左边方括号中的项是tau 的对数-对数图的斜率和相应的一组方差。

如果您运行该函数并比较 Quantstart 函数的答案，它们应该是相同的。不确定是否有帮助。