python - 使用一个 PDE 的解来定义另一个 PDE - FEniCS

Question

我目前正在尝试通过实现非标准边界条件来求解 FEniCS 中的 Monge-Ampere 方程。

边界条件，要求解的梯度必须将原域的边界映射到另一个规定的域。

当目标域被规定为单位圆时，实现起来非常简单，我通过将以下代码放入我的系统来解决这个问题:

+(dot(grad(uh),grad(uh))-1)*vh*ds\ (1)

其中 uh, 是试验函数，vh 是测试函数。

当考虑一个更复杂的目标空间，比如[−1,1]×[−1,1]的正方形时，事情变得更加困难，因为手工求解不是那么简单，所以我的想法是使用距离函数。

为了做到这一点，我已经解决了 Eikonal 方程的稳定版本，其解决方案是带符号的距离函数，然后我的想法是将 (1) 替换为:

+E(grad(uh))*vh*ds

其中 E 是 Eikonal 方程的解，但是当我尝试实现它时，出现错误，指出该函数需要标量参数，

有没有一种方法可以对解决方案进行编程，使其以二阶微分形式接受 grad(uh) 作为输入？

谢谢大家的宝贵时间!

Answer 1

您必须在公共(public)边界而不是 Dirchelet(势标量)上指定 Neumann 条件(梯度向量)。

如果我正在模拟两个不同区域之间的传导/扩散物理问题，能量守恒将要求边界两侧的通量必须平衡。您会如何在方程式中表达该边界条件？