python - 以数值方式求解积分极限？

Question

我试图在两个函数的曲线下找到一个区域，使该区域的面积等于给定的数字 m。例如，通过整合这两个功能:

f(x) = 3x - 3x^2
g(x) = x

象征性地从 a 到 b，并将每个等同于 m(例如 m=1/3)。该系统可以解决找到a和b的值:

1.5 b^2 - b^3 - 1.5 a^2 + a^3 = 1/3
0.5 b^2 - 0.5 a^2 = 1/3

我得到的正解大约是:a = 0.364823, b = 0.894294

现在，我的问题是:如果将 f 和 g 作为向量(或 Python 中的数组)而不是符号函数提供给我，我如何找到 a 和 b？我知道如何使用 trapz() 来查找矢量区域，但我不知道是否有办法使用它来查找 a 和 b 上面问题的数值。

谢谢!

Answer 1

你可以试试sympy

>>> from sympy import *
>>> x,a,b = symbols('x a b')
>>> fx = "3*x - 3*x**3"
>>> gx = "x"
>>> m = 1/3
>>> int_fx = integrate(fx, (x,a,b))
3*a**4/4 - 3*a**2/2 - 3*b**4/4 + 3*b**2/2
>>> int_gx = integrate(gx, (x,a,b))
-a**2/2 + b**2/2
>>> solve([Eq(int_fx, m), Eq(int_gx, m)],(a, b))
[(-0.577350269189626, -1.00000000000000), (-0.577350269189626, 1.00000000000000), (0.577350269189626, -1.00000000000000), (0.577350269189626, 1.00000000000000)]

顺便说一句，我很难理解你是如何设法得到的定积分解的

1.5 b^2 - b^3 - 1.5 a^2 + a^3 = 1/3

对于

f(x) = 3x - 3x^3

在

[a,b]