python - 删除 SymPy 系列扩展中的混合变量项

Question

考虑 SymPy 符号 e 和 i 的两个函数:

from sympy import Symbol, expand, Order
i = Symbol('i')
e = Symbol('e')
f = (i**3 + i**2 + i + 1)
g = (e**3 + e**2 + e + 1)
z = expand(f*g)

这会产生

z = e**3*i**3 + e**3*i**2 + e**3*i + e**3 + e**2*i**3 + e**2*i**2 + e**2*i + e**2 + e*i**3 + e*i**2 + e*i + e + i**3 + i**2 + i + 1

但是，假设 e 和 i 都很小，我们可以忽略三阶或更高阶的两项。使用 Sympy 的系列工具或简单地添加一个 O-notation Order 类可以处理这个:

In : z = expand(f*g + Order(i**3) + Order(e**3))
Out: 1 + i + i**2 + e + e*i + e*i**2 + e**2 + e**2*i + e**2*i**2 + O(i**3) + O(e**3)

看起来很棒。但是，我仍然留下了混合术语 e**2 * i**2。这些术语中的单个变量小于所需的截止值，因此 SymPy 保留它们。然而，数学上 small²·small² = small⁴。同样，e·i² = small·small² = small³。

至少出于我的目的，我希望删除这些混合术语。添加混合 Order 不会产生预期的结果(它似乎忽略了前两个订单)。

In : expand(f*g + Order(i**3) + Order(e**3) + Order((i**2)*(e**2)))
Out: 1 + i + i**2 + i**3 + e + e*i + e*i**2 + e*i**3 + e**2 + e**2*i + e**3 + e**3*i + O(e**2*i**2, e, i)

问题:SymPy 是否有一个简单的系统来快速删除 n 阶项，以及 (e^a)·(i^b) 其中 a+b > n?

困惑的解决方案:我已经找到了解决这个问题的方法，但它很困惑而且可能不通用。

z = expand(f*g + Order((e**2)*i) + Order(e*(i**2)))
zz = expand(z.removeO() + Order(e**3) + Order(i**3))

产生

zz = 1 + i + i**2 + e + e*i + e**2 + O(i**3) + O(e**3)

这正是我想要的。因此，具体说明我的问题:有没有一种方法可以在一个步骤中完成此操作，并且可以推广到任何 n？此外，我的解决方案丢失了指示混合项丢失的大 O 符号。这不是必需的，但会很好。

Answer 1

由于您有双重限制，因此您必须在所有 Order 对象中指定两个无穷小变量(e 和 i)，即使它们不要出现在第一个参数中。

这样做的原因是 Order(expr) 只会自动选择那些实际出现在 expr 中的符号作为无穷小，因此，例如，O( e) 只针对极限e→0。现在，具有不同限制的 Order 对象不能很好地混合，例如:

O(e*i)+O(e) == O(e*i) != O(e)+O(e*i) == O(e) # True

这会导致结果取决于添加顺序的困惑情况，这是一个很好的指标，表明应该避免这种情况。这可以通过显式指定无穷小符号(作为 Order 的附加参数)来避免，例如:

O(e*i)+O(e,e,i) == O(e,e,i)+O(e*i) == O(e,e,i) # True

我还没有找到一种方法来避免手动遍历 e 和 i 的所有组合，但这可以通过简单的迭代来完成:

orders = sum( Order(e**a*i**(n-a),e,i) for a in range(n+1) )
expand(f*g+orders)
# 1 + i + i**2 + e + e*i + e**2 + O(e**2*i, e, i) + O(e*i**2, e, i) + O(i**3, e, i) + O(e**3, e, i)