python - 乘积在符号数量的变量上的偏导数之和

Question

我希望 SymPy 评估如下表达式:

我将如何定义符号和表达式，以便 SymPy 能够很好地处理它？我想将 N 保留为一个符号，即不制作 x 的实际有限列表。我已经尝试了 IndexedBase 和 Sum/Product 的各种组合，但没有让它正常工作。

Answer 1

理想情况下是这样的:

x = IndexedBase("x")
i, j, N = symbols("i j N")
expr = Sum(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)).diff(x[i]), (i, 1, N))

到目前为止这是未评估的，expr是

Sum(Derivative(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)), x[i]), (i, 1, N)) 

方法doit可以用来评价它。不幸的是，产品的差异化还不太奏效:expr.doit()返回

N*Derivative(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)), x[i])

将乘积重写为微分之前的总和有助于:

expr = Sum(Product(exp(-x[j]**2), (j, 1, N)).rewrite(Sum).diff(x[i]), (i, 1, N))
expr.doit()

返回

Sum(Piecewise((-2*exp(Sum(log(exp(-x[j]**2)), (j, 1, N)))*x[i], (1 <= i) & (i <= N)), (0, True)), (i, 1, N))

这是微分的正确结果。遗憾的是，我们在 Piecewise 中有这种无关的条件，还有 log(exp(...))那应该被简化。 SymPy 不会推断 (1 <= i) & (i <= N)从外和的上下文来看是True，也犹豫要化简log(exp思考x[j]可能很复杂。所以我求助于 Piecewise 外科手术，用第一 block 替换它，并强制扩展原木:

e = expr.doit()
p = next(iter(e.atoms(Piecewise)))
e = expand_log(e.xreplace({p: p.args[0][0]}), force=True)

现在e是

Sum(-2*exp(Sum(-x[j]**2, (j, 1, N)))*x[i], (i, 1, N))

无法获取 exp(Sum(..))不幸的是，再次成为产品。