c++ - 整数在 float 中的精确表示

Question

我正在尝试理解浮点格式的整数表示。

由于 IEEE 浮点格式只有 23 位的尾数，我希望任何大于 1<<22 的整数都只是一个近似表示。这不是我在 g++ 中观察到的

下面的两个 cout 打印相同的值 33554432。

由于尾​​数部分是负责精度的部分，我们如何能够表示(存储)需要超过 23 位才能准确存储的确切数字。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = (1<<25);
  cout<< fp <<endl;
  cout<< (1<<25) <<endl;
}

作为基于以下答案的后续行动，为什么即使 fp,i 的打印不同，以下代码也不会执行“不等于”。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = ((1<<25)+1);
  cout<< fp <<endl;
  int i = ((1<<25)+1)  ;
  cout<< i <<endl;
  if(i != fp)
    cout<< "Not equal" <<endl;
}

Answer 1

的确，IEEE float 只有有限的尾数位。如果有 23 个尾数位，那么它可以精确表示 2²³ 个不同的整数值。

但是由于 float 单独存储一个二次方的指数，它可以(在有限的指数范围内)精确地表示这 2²³ 个值中的任何一个乘以两个。

33554432正好是 2²⁵，所以它只需要一个尾数位来准确表示它(加上一个表示乘以 2 的幂的二进制指数)。它的二进制表示是10000000000000000000000000 ，它有 26 位，但只有 1 个 significant 位。 (好吧，实际上它们都很重要，但你明白了。)

你会发现它的相邻整数值33554431和 33554433 不能在 32 位中精确表示 float . (但它们可以用 64 位 double 表示。)

更一般地说，float 类型的连续可表示值之间的差异值的大小而变化。在我的系统上(大多数系统使用 IEEE 格式，但标准不要求)，这个程序:

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

void show(float f) {
    std::cout << std::nextafterf(f, 0.0) << "\n"
              << f << "\n"
              << std::nextafterf(f, f*2) << "\n";
    putchar('\n');
}

int main(void) {
    std::cout << std::setprecision(24);

    show(1);
    show(1<<23);
    show(1<<24);
    show(1<<30);
}

产生这个输出:

0.999999940395355224609375
1
1.00000011920928955078125

8388607.5
8388608
8388609

16777215
16777216
16777218

1073741760
1073741824
1073741952

它以 float 类型显示直接前任和后继者, 数字 1、2²³、2²⁴ 和 2³⁰。如您所见，数字越大，差距越大，差距在每次 2 的幂处加倍。

你会得到类似的结果，但差距更小，类型为 double或 long double .