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我有一个有2^N个节点的DAG,值从0到2^N-1如果x
提前谢谢
最佳答案
迈克尔有一些很好的见解,但我不确定我是否理解他的全部论点。这是我的解决办法。
假设N=4,K=2所以节点的范围从0(00002)到15(11112)。
现在让我们考虑节点2(00102)。有一条从2到3的边(00112),因为2<3,xor(2,3)=1=20。也有一条从2到6的边,因为2<6,xor(2,6)=4=22。有一个从2到10的边,因为2<10,xor(2,10)=8=23。
概括地说:对于任何x,考虑x中的所有0位。通过将0位中的任何一位翻转为1,可以得到一个大于x且与x相差一位的数字y。所以从x到y有一个边。
x中1位的数目通常称为x的总体计数。我将使用pop(x)来表示x的总体计数。
我们处理的是N位数字(当我们包含前导零时),所以x中0位的数量是N-pop(x)。
我们用“j-路径”这个词来表示长度为j的路径,我们要计算k-路径的数量。
每个节点x都有N-pop(x)个传出边每个边都是一条路径。
让我们考虑节点5(01012)。节点5具有到7的边(01112),节点7具有到15的边(11112)。节点5还具有到13(11012)的边,节点13具有到15(11112)的边。所以节点5有两条路径:5-7-15和5-13-15。
接下来我们再来看节点2(00102)节点2具有到3(00112)的边,其具有到7(01112)和11(10112)的边节点2还具有到节点6的边(01102),其具有到7(01112)和14(11102)的边。最后,节点2具有到节点10的边(10102),其具有到11(10112)和14(11102)的边。总共有6条出节点2的2-路径:2-3-7、2-3-11、2-6-7、2-6-14、2-10-11和2-10-14。
其模式是,对于z位设置为零的任何节点x,其中z≥k,有一些k路径在x之外。要找到x之外的k路径,可以从零位中选择任意k。把这些位一个一个地翻过来,就可以找到路径。你可以按你想要的顺序翻转这些位;每个顺序都给出不同的路径。
当您想从一组n个项目中按特定顺序挑选k个项目时,这称为无替换的有序样本,并且有n! / (n-k)!方法可以做到这一点。这通常是n p k编写的,但是在这里输入p(n,k)比较容易。
所以,正好有2个零位的节点有p(2,2)=2!/(2-2)=2条2路(注意0=1.)只有3个零位的节点有p(3,2)=3!/1个=6条2路。正好有4个零位的节点有p(4,2)=4!/2个!=12条2路。(因为我在示例中使用的是N=4,所以只有一个节点正好有4个零位,即节点0。)
但是我们需要知道,有多少节点有2个零位?好吧,当有n个项目可供选择时,我们想从中选择k个,而我们不关心所选项目的顺序,这就是所谓的无替换无序样本,有n个/(k(n-k)!)方法这被称为“n choose k”,它通常是以一种在堆栈溢出时无法重现的方式编写的,所以我将其写为C(n,k)。
对于我们的N=4的例子,有C(4,2)=6个节点,正好有2位设置为零这些节点是3(00112)、5(01012)、6(01102)、9(10012)、10(10102)和12(11002)。每一个节点都有p(2,2)2路,这意味着有c(4,2)*p(2,2)=6*2=12个2路,节点正好有两个0位。
然后有C(4,3)=4个节点,正好有3位设置为零这些节点是1(00012)、2(00102)、4(01002)和8(10002)。每个节点都有p(3,2)2条路径,因此有c(4,3)*p(3,2)=4*6=24条2条路径,正好是3个0位的节点。
最后,有c(4,4)=1个节点,正好有4位设置为零。这个节点有p(4,2)=12个2路。
所以当N=4时2路的总数是C(4,2)*P(2,2)+C(4,3)*P(3,2)+C(4,4)*P(4,2)=12+24+12=48。
对于一般的n和k(其中k≤n),k-路径的数目是k≤z≤n时c(n,z)*p(z,k)的和。
我可以把它输入Wolfram Alpha(或Mathematica)中,如下所示:
Sum[n!/(z! (n - z)!) z!/(z - k)!, {z, k, n}]
2^(n-k) n! / (n-k)!
关于c++ - 计算长度为K的DAG中的路径数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/30606975/
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