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假设,我们有一棵树,其中每条边的长度为 1 或 2 的概率相等。从根到叶子的所有路径都包含相同数量的边。找到从根到叶的预期最大路径长度。
树的例子
*
/ \
/ \
* *
预期最大路径长度为 1/4 * 1 + 3/4 * 2 = 7/4,因为边的可能长度为 11、12、21、22,后三个给出最大长度 2,第一个 - 1.
最佳答案
这可以递归计算而不会太麻烦。
"""
A distribution is represented as a list of probabilities summing to one.
The probability of outcome i is the entry at position i (zero-based indexing).
"""
def max_distribution(dist1, dist2):
"""
Given two distributions dist1, dist2, computes the distribution of
the max of a sample from dist1 and a sample from dist2.
"""
max_dist = []
cum1 = 0
cum2 = 0
for i in range(max(len(dist1), len(dist2))):
p1 = dist1[i] if i < len(dist1) else 0
p2 = dist2[i] if i < len(dist2) else 0
max_dist.append(cum1 * p2 + p1 * cum2 + p1 * p2)
cum1 += p1
cum2 += p2
return max_dist
def distribution_plus_edge(dist):
"""
Given a distribution dist, computes the distribution of
a sample from dist plus an uniform random choice in {1, 2}.
"""
dist_plus = [0] * (len(dist) + 2)
for i in range(len(dist)):
for j in [1, 2]:
dist_plus[i + j] += 0.5 * dist[i]
return dist_plus
def expectation(dist):
"""
Given a distribution dist, returns the expectation.
"""
return sum(i * p for i, p in enumerate(dist))
def max_path_length_distribution(tree):
"""
Given a tree represented as a list of the root's subtrees,
computes the distribution of max path lengths from the root to a leaf.
"""
dist = [1]
for child in tree:
child_dist = distribution_plus_edge(max_path_length_distribution(child))
dist = max_distribution(dist, child_dist)
return dist
tree = [[], []]
print(expectation(max_path_length_distribution(tree))) # 1.75
tree = [[[], []], []]
print(expectation(max_path_length_distribution(tree))) # 3.25
关于algorithm - 树中从根到叶子的预期最大路径长度,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/34810715/
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