algorithm - 回溯算法的复杂度

Question

我尝试使用回溯来解决这个问题，但我不确定算法的复杂性(以及算法是否正确)以及复杂性更好的算法。

给定 2 个正整数 n 和 m，如果满足以下条件，我们称其为合法的整数序列:

• 序列的长度为n
• 序列中的元素在1到m之间
• 序列中位置i的元素，1 < i <= n，是位置i-1元素的约数

统计合法序列的个数。算法的预期复杂度为 O(m² + nm)

这是我在 c 中的算法:

// n length of the sequence
// m maximum valid number
// l number of remaining positions in the sequence
// p previous number in the sequence

int legal(int n, int m, int l, int p) {
    if (l == 0) 
        return 1;
    int q=0;
    for (int i=1; i <= m;i++) {
        if (p%i == 0 || l == n)
            q += legal(n,m,l-1,i);
    }
    return q;
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d", &n);
    scanf("%d", &m);    
    printf("%d\n", legal(n,m,n,0));
}

我认为我的算法的复杂度是 O(nmS(n)) 其中 S(n) = 合法序列的数量

Answer 1

您的程序在问题的解空间中运行是正确的。对于此类问题，您的解决方案对于大输入(比如 n = m = 100)不是最优的。这是因为解决方案空间相对于 m 和 n 呈指数增长。这是一个使用 memoization 的解决方案避免重新计算:

#include <cstdio>

#define LIMIT 101
#define DIRTY -1


long long cache[LIMIT][LIMIT];

void clear_cache() {
  for (int i = 0; i < LIMIT; i++) {
    for (int j = 0; j < LIMIT; j++) {
      // marked all entries in cache as dirty
      cache[i][j] = DIRTY;
    }
  }
}

long long legal_seqs(int curr_len, int prev_num, int seq_len, int max_num) {
  // base case
  if (curr_len == seq_len) return 1;

  // if we haven't seen this sub-problem, compute it!
  // this is called memoization
  if (cache[curr_len][prev_num] == DIRTY) {
    long long ways = 0;
    // get all multiples of prev_num
    for (int next_num = 1; next_num <= max_num; next_num++) {
      if (prev_num % next_num == 0) {
        ways += legal_seqs(curr_len + 1, next_num, seq_len, max_num);
      }
    }
    cache[curr_len][prev_num] = ways;
  }
  return cache[curr_len][prev_num];
}

int main() {
  int n, m;
  scanf("%d%d", &n, &m);
  clear_cache();
  printf("%lld\n", legal_seqs(0, 0, n, m));
}

上面的代码以您提到的时间复杂度运行。