algorithm - Bellman-Ford 的负循环

Question

在具有 V 个节点和 E 条边的有向图中，Bellman-Ford 算法将每个顶点(或者更确切地说，从每个顶点发出的边)松弛 (V - 1) 次。这是因为从源到任何其他节点的最短路径最多包含 (V - 1) 条边。在第V次迭代中，如果一条边可以松弛，说明存在负循环。

现在，我需要找到被这个负循环“破坏”的其他节点。也就是说，一些不在负循环上的节点现在与源的距离为负无穷大，因为从源到位于负循环中的节点的路径上有一个或多个节点。

实现此目的的一种方法是运行 Bellman-Ford 并记录负循环上的节点。然后，从这些节点运行 DFS/BFS 以标记其他节点。

但是，为什么我们不能在不求助于 DFS/BFS 的情况下运行 Bellman-Ford 2 * (V - 1) 次来检测此类节点？如果我的理解是正确的，那么将所有顶点放松 2 * (V - 1) 次应该允许负循环将它们的值“传播”到所有其他连接的节点。

其他详细信息:我在解决这个在线问题时遇到了这种情况:https://open.kattis.com/problems/shortestpath3

我使用的 Java 代码(以及此处未显示的 BFS/DFS)如下:

  // Relax all vertices n - 1 times.
  // And relax one more time to find negative cycles
  for (int vv = 1; vv <= n; vv++) {
    // Relax each vertex
    for (int v = 0; v < n; v++) {
      // For each edge
      if (distTo[v] != (int) 1e9) {
        for (int i = 0; i < adjList[v].size(); i++) {
          int dest = adjList[v].get(i).fst;
          int wt = adjList[v].get(i).snd;

          if (distTo[v] + wt < distTo[dest]) {
            distTo[dest] = distTo[v] + wt;

            if (vv == n) {
              isInfinite[v] = true;
              isInfinite[dest] = true;
            }
          }
        }
      }
    }
  }

Answer 1

考虑一个带有 N=4, M=5 的图:

A -> B weight 1000
A -> C weight 1000
C -> D weight -1
D -> C weight -1
D -> B weight 1000

设 A 为源，B 为目的地。

现在明显有一个负循环(C <-> D) .但是无论我们运行算法 N 次还是 2N 次甚至 3N 次，从 A 到 B 的最短路径仍然是 1000。由于每次使用负循环只会减少一点距离，因此不会传播到我们期望的其他节点。

一旦确定影响节点的循环，解决方案就是将距离标记为负无穷大。这样，负循环“优先于”通过其他节点的其他最短路径。

您真诚的，
一位在这个问题上花费了大量时间的编码人员。