algorithm - 子集和的DP解的空间优化？

Question

我正在做正数的子集和问题。在典型的 DP 解决方案中，我们使用 table[n+1][sum+1] 形式的 2D DP 表，其中 n 是集合中元素的数量，sum 是目标总和。现在我想优化它只使用一行，因为所有行都使用前一行的结果。为此，我提出了一个解决方案:

boolean DP[] = new boolean[sum+1];
DP[0] = true;
for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
    for(int j = arr[i]; j <= sum; j++) {
        DP[j] = DP[j] || DP[j-arr[i]];
    }
}
return DP[sum];

此代码未通过某些测试用例。但是，如果我将内部循环更改为向后迭代:

for(int j = sum; j >= arr[i]; j--)

然后这段代码通过了所有的测试用例。我无法弄清楚向后迭代所产生的差异。我将不胜感激。

Answer 1

帮助理解的简单例子

arr = {1, 4}, sum = 7

如果迭代forward，第一次迭代，i = 0

dp[0] = true
for (int j = arr[0]; j <= sum; j++){

} 

这是这个循环中的步骤:

dp[1] = dp[1] || dp[1 - 1]; //true as dp[0] = true
dp[2] = dp[2] || dp[2 - 1]; // also true, as previous step, we update dp[1] = true
....
dp[7] = dp[7] || dp[7 - 1]; // true for similar reason

因此，对于第一次迭代，所有元素都为真

在向后迭代的情况下，第一次迭代，i = 0

dp[0] = true
for (int j = sum; j >= arr[0]; j--){

} 

这是这个循环中的步骤:

dp[7] = dp[7] || dp[7 - 1]; //false 
dp[6] = dp[6] || dp[6 - 1]; // also false,
....
dp[1] = dp[1] || dp[1 - 1]; // true as dp[0] = true

因此，对于第一次迭代，除了 dp[1] 和 dp[0] = true 之外的所有内容，这就是我们想要的。