c++ - 作为动态规划的迭代解决方案

Question

维基百科是这样描述动态规划的:

In mathematics, computer science, economics, and bioinformatics, dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems. It is applicable to problems exhibiting the properties of overlapping subproblems and optimal substructure. When applicable, the method takes far less time than other methods that don't take advantage of the subproblem overlap (like depth-first search).

而且从 Introduction to Algorithms (Cormen) ，我了解到 dynamic programming 是一种应用于解决 repeating computations 的方法已经计算过一次。通俗地说，

if you're going to compute something again and again , better store it somewhere.

将其应用于斐波那契数列，我可以将其算法编写如下:

arr[3] = {1,1,1} //first two index for computation , last to keep track

fibbDyn(n){
    if(n>=1 || a[2]>n ) return n;    // return on base conditions
    else {
        res = arr[0] + fibbDyn(n-1); 
        arr[0]=arr[1];
        arr[1]=res; 
        arr[2]+=1;    // increment value by 1
        return res;
    }
} 

虽然我相信该算法遵循动态规划的示例，因为它减少了在原始递归斐波那契 版本中完成的额外计算:

 fibb(n){
    if (n>=1)return n;
    else return fibb(n-1) + fibb(n-2);
}

由于在每个递归步骤中有两个单独的调用，else return fibb(n-1) + fibb(n-2) 重复了许多计算。

迭代解决方案可能如下所示:

int FibonacciIterative(int n)
{
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;

    int prevPrev = 0;
    int prev = 1;
    int result = 0;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        result = prev + prevPrev;
        prevPrev = prev;
        prev = result;
    }
    return result;
}

所以我的问题是，Fibonacci 问题的迭代解决方案是否可以归类为动态规划？

我不同意的理由是，迭代解决方案不会像递归解决方案那样展示重叠子问题。在迭代解决方案中，没有进行冗余和重复的计算，因此不应将其包含在动态规划中。

相关文章:optimal substructure , overlapping subproblems , dynamic programming .

Answer 1

是的。这只是自下而上动态规划的一个特例。您可以丢弃您知道永远不会再使用的表条目，在斐波那契的情况下，这意味着您只需要保留 2 个条目，然后您就可以忘记它曾经是一个表，只使用两个命名变量。所以，它最终看起来不同，几乎太简单了。但是该算法的结构仍然是DP。你说不存在的重叠子问题仍然存在，因为你使用每个结果两次(一次在 prev 中，再次在 prevPrev 中)，除了结束。当然没有进行冗余计算，但这就是 DP 的思想——通过重用去除冗余计算。

对于允许动态规划的问题，有一个通用的“攻击计划”，即

• 递归地陈述问题
• (证明DP可以应用)
• 确定子问题的顺序，使它们按拓扑排序(因此计算解决方案仅依赖于琐碎的解决方案和先前计算的解决方案，而不依赖于 future 的解决方案)
• 如果有合适的顺序，请按该顺序迭代填写表格。如果顺序很烦人，也许可以保留自上而下的结构。

在 Fibonacci 的情况下，发生的事情是订单微不足道(这甚至不是特别罕见，但它看起来好像我们“没有真正做任何特别的事情”)，并且依赖关系永远不会返回更多多于 2 个位置，因此表格中唯一需要记住的部分是前两个单元格。所以应用所有这些，你就得到了众所周知的迭代算法。这并不意味着它不再是 DP，这意味着 DP 非常成功。

至于属性(最优子结构、重叠子问题)，它们是问题的属性，无论您决定如何解决它，它们都不会消失。但是您仍然可以在迭代算法中看到它们，正如我在第一段中指出的那样。