algorithm - 圆堆叠算法

Question

在我制作的游戏中，我需要堆叠一堆不同半径的圆圈，这样堆叠就不会重叠。圆圈堆叠在一起，重叠的圆圈形成堆叠，最大半径的圆圈在顶部。圆圈随机放置在连续的二维平面上。可以有等半径的圆。

我使用 C++。圆圈存储在向量中。通过平面我只是意味着圆圈具有(双)x 和 y 坐标。堆栈本质上是圆的向量，它使用最顶部的位置和半径(应该是最大的)。 “没有堆叠重叠”是指在堆叠圆圈之后，堆叠不应重叠。

我做了什么:

1. 按半径对圆进行排序
2. 对于第一个圆圈(最大的圆圈)，将所有重叠的圆圈添加到其堆栈中，将它们从圆圈列表中移除。
3. 重复直到圆列表为空。
4. 对所有堆栈进行排序，将最大的堆栈放在最上面。

为什么它不起作用(总是)。有时 3 个等半径圆重叠，因此两个圆共享一个(但不重叠)。其中一个圆圈获得共享圆圈，然后偶然将该圆圈选为顶部圆圈，这导致两个重叠堆栈。

我想了很多，但我能想到的所有方法似乎都需要非常复杂的循环和 ifs 来手动检查哪些圈子是共享的以及如何移动它们，或者通过随机重新排列堆栈来蛮力和运气.

是否有一些通用的方法来解决此类问题？如果堆栈在所有堆栈都最小化其“能量”的意义上是“最佳的”(就像它们拉入节点的距离最小化一样)，那也会很酷。

在情况 1 中选择了中心圆(假设所有三个大圆具有相同的半径)，因为它最小化了堆栈的数量。在情况 2 中，最大的圆圈正确地位于堆栈顶部。在情况 3 中，一切都按预期进行。在情况 4 中，小圆圈错误地位于堆栈顶部。此外，如果其他两个圆圈大小相同，则应该只有一个堆栈，如情况 1 中那样。在情况 5 中，错误的圆圈位于顶部，导致堆栈重叠。

谢谢!

一个有效的暴力版本:

    std::vector<std::vector<Symbol>::iterator >symPos; std::vector<int> cons;std::vector<Symbol> selVec; Symbol start; SymbolStack stack;
    while(symbols.size()){
        std::sort(symbols.begin(),symbols.end(),std::greater<Symbol>());
        start = symbols.front();
        for(int i = 0;i<symbols.size();i++){
            if(symbols[i].getRadius() == start.getRadius()){
                selVec.push_back(symbols[i]); cons.push_back(0); symPos.push_back(symbols.begin()+i);
            }
        }
        for(int i = 0;i<selVec.size();i++){
            for(int j = i+1;j<selVec.size();j++){
                if((selVec[i].getPos()-selVec[j].getPos()).len() < 2*(selVec[i].getRadius()+selVec[j].getRadius())){
                    cons[i]++;cons[j]++;
                }
            }
        }
        int maxCons = 0; int selected;
        for(int i = 0;i<cons.size();i++){
            if(cons[i] >= maxCons){selected = i;maxCons = cons[i];}
        }
        start = selVec[selected];
        stack.addSymbol(start); symbols.erase(symPos[selected]);
        for(auto it = symbols.begin();it!=symbols.end();){
            if((it->getPos()-start.getPos()).len() < 1.5*(it->getRadius()+start.getRadius())){
                stack.addSymbol(*it);
                it = symbols.erase(it);
            }else{
                it++;
            }
        }
        stacks.push_back(stack);
        stack.clear();
        selVec.clear();
        symPos.clear();
        cons.clear();
    }

其中 Symbol 是一个圆形对象。堆栈是一个 std::vector。根本没有效率，但它有效。我将尝试像 Nico 建议的那样对其进行优化。 Symbol 对象包含一个 vector2 位置 (getPos()) 和一个半径 (getRadius())。 len() 方法获取 vector2 的长度。

Answer 1

我会将算法分为两部分 - 代表性检测和堆栈构建，其中堆栈构建基本上将每个圆圈关联到一个代表，形成一个堆栈。

最后一部分很简单。迭代每个圆圈并将其关联到产生最少能量的代表(可能是最接近的那个)。使用网格或 kd 树等加速数据结构来增强此类查询。

第一部分要难得多。实际上，它看起来是 NP-hard，尽管我无法证明这一点。但让我们从头开始。

按大小降序排列圆圈是个好主意。如果第一个圆(具有最大半径)没有与具有相同半径的圆重叠，则显然应该具有代表性。在这种情况下，从列表中删除(或标记)每个重叠的圆圈。在另一种情况下，您必须决定选择哪个重叠圆(半径相等)。

在您的代码中，您使用简单的启发式方法(重叠圆圈的数量)来决定选择哪个圆圈。根据您的数据和用例，这可能是一个有效的选项。通常，这可能并不总是会产生最佳解决方案(因为决策可能会显着改变后续决策)。

另一种选择是使用回溯。尝试一个决定，看看结果如何(最后评估代表的数量)。然后，当回去时，也尝试其他决定。一旦代表人数超过目前看到的最小人数，您就可以离开决策分支。不幸的是，在最坏的情况下，这可能会导致指数运行时间。但是你只需要在重叠大小相同的圆圈的情况下做出决定。如果这种情况不经常发生，回溯可能是一个不错的选择，它可以保证您获得全局最优解。

请记住，您的列表是经过排序的。搜索特定半径的圆时，您不必搜索整个列表。您的代码中有几个地方可以根据这一事实进行改进。并且，如前所述，使用加速结构来更快地评估重叠查询。