algorithm - 路径压缩和按等级合并如何相互补充？

Question

我一直在阅读联合查找问题。两个主要改进是路径压缩和按等级联合。据我了解，按等级联合用于确定如何组合不相交的树。如果我们有两棵不相交的树 T1 和 T2，那么我们将等级较小的树的根连接到等级较高的树。如果我们不使用路径压缩，那么等级就是树的深度。这是有道理的，因为我们不想增加树的深度，因为它直接影响查找和联合。

我的问题是当我们也使用路径压缩时。我一直在读到这两个优化相互补充，但我没有看到。由于路径压缩，等级不再是树的深度(它成为深度的上限)。假设T1有2个分支(令T1的秩为3)，T2的深度为2，秩为2。现在假设我们对T1下面标有“*”的叶子进行查找操作(路径压缩)。现在，如果我们合并 T1 的根和 T2 的根，那么 T2 将附加到 T1 的根(因为等级不会通过查找更新)。生成的树的深度为 3。但是如果将 T1 附加到 T2，我们可以获得更好的性能。

T1:   o   (Rank = 3)    T2:   o  (Rank = 2)
     / \                      |
    o   o                     o
    |                         |
    o                         o
    |   
    *   

在 T1("*") 的叶子上找到之后，然后在 T1 和 T2 的根上并集，我们得到

T1:    o       (Rank = 3)      T2: o  (Rank = 2)       
     /| |\                         |
    * o o o                        o
                                   |
                                   o
Result of T1 union T2
       o
   / | | |\
  * o o o  o   Rank = 3 and Max Depth = 3
           |
           o
           |
           o

我在这里遗漏了什么吗？路径压缩和按等级合并如何相互补充？我知道等级只是树深度的上限，但我看不到按等级合并如何提高结构的整体性能。这比随机组合根的联合有何优势？

提前感谢您的帮助。

Answer 1

按等级合​​并确保树的最大深度为 log N，因此它在每个操作上设置了 O(log N) 的最坏情况上限。

没有任何特殊联合的路径压缩规定每个操作的摊销成本的上限为 O(log N)，但不限制最坏情况的成本 . (摊销成本甚至可能有更严格的界限，但 O(log N) 是我知道如何证明的那个)

同时使用两者，您可以得到最坏情况下的 O(log N) 限制并且摊销界限提高到 O(𝛼(N))，这实际上是常数。这样两种优化是互补的。

你是对的，有些操作序列按等级联合并不是绝对最优的，但保证比没有它时得到的要好，这才是最重要的。我们通常不会花费精力优化最佳 案例性能。我们优化最差 或平均 情况。