字符串 S 中需要更改的最少字符数的算法

Question

几天前我遇到了一个编程挑战，现在已经结束了。问题是给定一个小写英文字母的字符串 S，找到字符串 S 中需要更改的最少字符数，以便它包含给定的单词 W 作为 S 中的子字符串。

同样在下一行，按升序打印您需要更改的字符的位置。由于可以有多个输出，找到第一个字符变化最少的位置。

我尝试使用 LCS，但只能获取需要更改的字符数。如何找到角色的位置？我可能遗漏了一些东西，请帮忙。可能是其他一些算法来解决它。

Answer 1

显而易见的解决方案是将引用词 W 移动到输入字符串 S 上并计算差异。但是，对于非常长的字符串，这将变得低效。那么，我们如何改进呢？

我们的想法是将搜索定位到 S 中的位置，在这些位置我们很可能与 W 有很好的匹配。找到这些点是关键部分。如果不执行朴素算法，我们就无法既高效又准确地找到它们。因此，我们使用启发式 H 为我们提供了必须执行的更改数量的下限。我们为 S 的每个位置计算这个下限。然后，我们从最低的 H 位置开始，检查该位置的 S 和 W 的实际差异。如果下一个更高的 H 高于当前差值，我们就已经完成了。如果不是，我们检查下一个位置。该算法的概要如下所示:

input:
    W of length LW
    S of length LS

H := list of length LS - LW + 1 with tuples [index, mincost]
for i from 0 to LS - LW
    H(i) = [i, calculate Heuristic for S[i .. i + LW]]
order H by mincost
actualcost = infinity
nextEntryInH = 0
while actualcost >= H[nextEntryInH].minCost && nextEntryInH < length(H)
    calculate actual cost for S[H[nextEntryInH].index .. + LW]
    update actualcost if we found a lesser cost or equal cost with an earlier difference
    nextEntryInH++

现在，回到启发式。我们需要找到一些东西，让我们能够近似给定位置的差异(并且我们需要保证它是下限)，同时又易于计算。由于我们的字母表有限，我们可以使用字母的直方图来做到这一点。因此，让我们假设评论中的示例:W = worldcup 并且我们感兴趣的 S 部分是 worstcap。这两部分的直方图是(省略不出现的字母):

         a c d l o p r s t u w
worldcup 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1  
worstcap 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 
------------------------------
abs diff 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0  (sum = 6)

我们可以看到，绝对差之和的一半是我们需要更改的字母数的适当下限(因为每个字母更改都会使总和减少 2)。在这种情况下，界限更小，因为总和等于实际成本。然而，我们的启发式不考虑字母的顺序。但最终，这就是它可以有效计算的原因。

好的，我们的启发式是直方图的绝对差之和。现在，我们如何有效地计算呢？幸运的是，我们可以增量计算直方图和总和。我们从位置 0 开始计算完整的直方图和绝对差的总和(请注意，W 的直方图在剩余的运行时间中永远不会改变)。有了这些信息，我们就可以设置 H(0)。

为了计算 H 的剩余部分，我们将窗口滑动到 S 上。当我们将我们的窗口向右滑动一个字母时，我们只需要更新我们的直方图并稍微求和:我们的窗口中正好有一个新字母(添加到直方图中)和一个字母离开窗口(从直方图中删除) .对于两个(或一个)对应的字母，计算绝对差之和的结果变化并更新它。然后，相应地设置H。

通过这种方法，我们可以在线性时间内计算整个字符串 S 的启发式算法。启发式为我们提供了应该在哪里寻找匹配项的指示。一旦我们有了它，我们将继续执行本答案开头概述的剩余算法(在具有低启发式的地方开始准确的成本计算，并继续直到实际成本超过下一个更高的启发式值)。