algorithm - 求解 ODE 算法的有限差分法

Question

我正在尝试为有限差分法设计一种算法，但我有点困惑。所讨论的 ODE 是 y''-5y'+10y = 10x，其中 y(0)=0 且 y(1)=100。所以我需要一种方法来以某种方式获得将从关系中乘以“y_i”的系数:

然后将结果系数存储到一个矩阵中，这将是我将通过高斯-约当求解的系统的矩阵。问题归结为如何获得这些系数并将它们移动到矩阵中。我考虑过手动计算系数，然后只输入矩阵，但我需要对大小为 0.1、0.001 和 0.001 的步长执行此操作，因此这在此处确实不是一个可行的选择。

Answer 1

让我们假设 ODE 的更一般情况

c1 * y''(x) + c2 * y'(x) + c3 * y(x) + c4 * x = 0

有边界条件

y(0) = lo
y(1) = hi

你想为 x ∈ [0, 1] 求解此问题，步长为 h = 1/n(其中 n + 1 是样本数)。我们想要求解 yi = y(h * i)。 yi 的范围从 i ∈ [0, n]。为此，我们要求解一个线性系统

A y = b

每个内部 yi 都会施加一个线性约束。因此，A 中有 n - 1 行，n - 1 列对应于未知的 yi。

要设置 A 和 b，我们只需在未知的 yi 上滑动一个窗口(我假设是从零开始的索引)。

A = 0  //the zero matrix
b = 0  //the zero vector
for i from 1 to n - 1
    //we are going to create the constraint for yi and store it in row i-1

    //coefficient for yi+1
    coeff = c1 / h^2 + c2 / h
    if i + 1 < n
        A(i - 1, i) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * hi  //we already know yi+1

    //coefficient for yi
    coeff = -2 * c1 / h^2 - c2 / h + c3
    A(i - 1, i - 1) = coeff

    //coefficient for yi-1
    coeff = c1 / h^2
    if i - 1 > 0
        A(i - 1, i - 2) = coeff
    else
        b(i - 1) -= coeff * lo  //we already know yi-1

    //coefficient for x
    b(i - 1) -= c4 * i * h
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