java - 如何在编程语言中生成一些长度固定为 r 的同分布伪随机 vector ？

Question

例如，对于维度 d=2 ，这意味着我们可以生成一个随机角度 0<=a<2*pi , 然后我们就可以使用

(x_1,x_2)=(r*cos(a),r*sin(a))作为随机 vector 。

但是，对于维度 d>=3 ，我们不能只生成一个角度并用它来表示 vector 。那么我们如何生成这样一个 vector (x_1,...,x_d) , 在 x_1^2+x_2^2+...+x_d^2=r^2 上同分布？

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我刚刚想出了一个新想法，我们可以生成一个 vector (x_1,...,x_d)这样 -r<=x_i<r对于所有 i , 如果 x_1^2+x_2^2+...+x_d^2<=r^2 则将其归一化如果 x_1^2+x_2^2+...+x_d^2>r^2 就放弃它.

但是，有一个缺点，即x_1^2+x_2^2+...+x_d^2<=r^2的概率如果 d 会变得很小非常大。有没有更好的解决方案？

Answer 1

生成独立且服从标准正态分布的随机变量(X_1, X_2, ... X_d)，然后除以sqrt(X_1^2+...+X_d^2)/r归一化。

独立正态分布的 union 分布是旋转对称的不仅是正确的，它还表征了正态分布。

您可以使用 Box-Muller transform 从均匀随机变量中有效地生成具有标准正态分布的自变量对。 .