ruby - 有人可以解释这个解决方案背后的数学原理吗

Question

一个问题问:

• 取一个从 1 到 n 的数字序列(其中 n > 0)。
• 在该序列中，有两个数字 a 和 b。
• a 和 b 的乘积应等于序列中除 a 和 b 之外的所有数字的总和。
• 给定一个数字 n，你能告诉我从序列中排除的数字吗？

我的计划是获取范围之和，然后使用组合枚举器创建一个数组以获取范围的所有可能对，然后检查对的乘积是否等于范围之和减去总和对的。此解决方案有效，但耗时太长:

def removNb(n)
  arr = [*1..n]
  sum = arr.inject(:+) 
  ab = []

  [*(n/2)..n].combination(2).to_a.each do |pair|
    if pair.inject(:*) == sum - pair.inject(:+) 
        ab << pair 
        ab << [pair[1],pair[0]]
    end 
  end
  ab
end

这是我找到的解决方案:

def removNb(n)
  res = []
  total = (n*n + n) / 2 
  range = (1..n)

  (1..n).each do |a|
    b = ((total - a) / (a * 1.0 + 1.0))
     if b == b.to_i && b <= n
      res.push([a,b.to_i])

    end
  end
  return res
end

但无法理解它是如何工作的。我了解总数背后的等式。

Answer 1

你可以组成一个等式

a * b = (sum of sequence from 1 to n) - (a + b)

来自这个声明

the product of a and b should be equal to the sum of all numbers in the sequence, excluding a and b

从 1 到 n 的序列总和(表示为总数)= n(n+1)/2 = (n*n + n)/2

重新排序上面的等式，你得到

b = (total - a) / (a + 1)

剩下的工作就是检验是否存在符合这个等式的整数a和b