java - 如果将 NxM 乘法表按顺序排列，中间的数字是什么？

Question

如果我有一个乘法表，例如 3x5:

1  2  3  4  5
2  4  6  8 10
3  6  9 12 15

我把所有这些数字按顺序排列:

1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 8 9 10 12 15

中间的数字是多少？在这种情况下，它是 5。

N 和 M 总是奇数，所以只能有一个答案。

有没有快速的解决方案？我正在寻找 O(N log NM)

行中的内容

这是某种家庭作业，但我真的迷失了这个。我提出了一些想法，但它们都有一些缺点:

public class Table {

    public static void main(String[] ar) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int w = scanner.nextInt();
        int h = scanner.nextInt();

        int[] s = new int[w * h + 1];
        for (int i = 1; i <= w; i++)
            for (int j = 1; j <= h; j++)
                s[i * j] = s[i * j] + 1;

        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < s.length; i++) {
            sum += s[i];
            if (sum >= s.length / 2) {
                System.out.println(i);
                break;
            }
        }
    }

}

这足够快地解决了大部分测试(<4 秒)，但是对于大 N 和 M，超出了内存限制(我不知道确切的限制)。

想法是跟踪每个数字的出现次数，然后按顺序遍历所有数字，将每次迭代的出现次数相加。当出现的次数大于或等于w * h/2时，就是中间的数字，我们打印出来。

public class Table {

    public static void main(String[] ar) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int w = scanner.nextInt();
        int h = scanner.nextInt();

        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= w * h; i++) {
            for (int j = 1; j <= Math.sqrt(i); j++) {
                if (i % j == 0) {
                    int k = i / j;
                    if (k <= w && k != j) sum++;
                    if (k <= h && k != j) sum++;
                    if (k <= w && k <= h && k == j) sum++;
                }                
            }

            if (sum >= (w * h + 1) / 2) {
                System.out.println(i);
                break;
            }
        }
    }

}

为了克服内存限制，我试着计算每个数字出现的次数，直到出现中间的那个为止。我注意到乘法表中每个数字出现的次数就是它们所具有的因数的个数。

不够快。

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谁能给点建议？我知道在建议的 O(N log NM) 解决方案中使用了二进制搜索。

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1 <= N <= 10^5
1 <= M <= 10^5

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解决方案!

好的，感谢@PeterdeRivaz，我能够找到并实现解决我的问题的方法。这个想法正如他所描述的那样，这是实际的实现:

    public class Kertotaulu {
        public static void main(String[] ar) {            Scanner scanner = new Scanner(System.in);            long h = scanner.nextLong();            long w = scanner.nextLong();
            long min = 1;            long max = w*h;            long mid = 0;            while (min <= max) {                mid = (min + max) / 2;                long sum = 0;                for (int i = 1; i <= h; i++) sum += Math.min(mid / i, w);                sum--;
                if (sum < (w * h) / 2) min = mid + 1;                else if (sum > (w * h) / 2) max = mid - 1;                else break;            }
            long sum = 0;            for (int i = 1; i <= h; i++) sum += Math.min((mid - 1) / i, w);            sum--;
            if (sum == (w * h) / 2) System.out.println(mid - 1);            else System.out.println(mid);        }
    }

Answer 1

您可以通过计算乘法表中有多少项小于该值来对该值使用二分查找。

这将需要在二进制搜索中进行 log(NM) 次迭代，因此我们需要能够计算 O(N) 中的计数，总复杂度为 O(Nlog(NM))。

这可以通过依次考虑每个乘法表来完成。例如，假设我们的测试值为 8，我们正在考虑 3 次表。

小于八的值将是 3*1 和 3*2。我们可以通过简单地将测试值 8 除以表 3 并向下舍入来找到有多少，即 floor(8/3) = 2 所以 3 次表将给我们计数 2。