algorithm - 循环的递归关系

Question

题目是建立一个递归关系，求出算法给出的值。答案应该是 teta() 术语。

foo = 0;

for int i=1 to n do
    for j=ceiling(sqrt(i)) to n do
        for k=1 to ceiling(log(i+j)) do
             foo++

Answer 1

不完全确定，但这里是。

第二个循环执行 1 - sqrt(1) + 2 - sqrt(2) + ... + n - sqrt(n) = n(n+1)/2 - n^1.5次 => O(n^2) 次。参见 here对于 sqrt(1) + ... + sqrt(n) = O(n^1.5) 的讨论。

我们已经确定第三个循环将被触发 O(n^2) 次。所以该算法渐近等价于这样的东西:

for i = 1 to n do
    for j = 1 to n do
        for k = 1 to log(i+j) do
            ++foo

这导致总和 log(1+1) + log(1+2) + ... + log(1+n) + ... + log(n+n) . log(1+1) + log(1+2) + ... + log(1+n) = log(2*3*...*(n+1)) = O(n log n )。它乘以 n，得到 O(n^2 log n)。

所以你的算法也是O(n^2 log n)，如果我没记错的话，也是Theta(n^2 log n)。