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我必须解决一个问题,当给定一个网格大小 N x M 时,我必须找到“可以放入其中”的平行四边形的数量,这样它们的每个坐标都是一个整数。
这是我的代码:
/*
~Keep It Simple!~
*/
#include<fstream>
#define MaxN 2005
int N,M;
long long Paras[MaxN][MaxN]; // Number of parallelograms of Height i and Width j
long long Rects; // Final Number of Parallelograms
int cmmdc(int a,int b)
{
while(b)
{
int aux = b;
b = a -(( a/b ) * b);
a = aux;
}
return a;
}
int main()
{
freopen("paralelograme.in","r",stdin);
freopen("paralelograme.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&N,&M);
for(int i=2; i<=N+1; i++)
for(int j=2; j<=M+1; j++)
{
if(!Paras[i][j])
Paras[i][j] = Paras[j][i] = 1LL*(i-2)*(j-2) + i*j - cmmdc(i-1,j-1) -2; // number of parallelograms with all edges on the grid + number of parallelograms with only 2 edges on the grid.
Rects += 1LL*(M-j+2)*(N-i+2) * Paras[j][i]; // each parallelogram can be moved in (M-j+2)(N-i+2) places.
}
printf("%lld", Rects);
}
示例:对于 2x2 网格,我们有 22 个可能的平行四边形。
我的算法有效并且正确,但我需要让它更快一点。我想知道这怎么可能。
附言我听说我应该预处理最大公约数并将其保存在一个数组中,这会将运行时间减少到 O(n*m),但我不确定如何在不使用 cmmdc 的情况下做到这一点(最大公约数 ) 函数。
最佳答案
确保N不小于M:
if( N < M ){ swap( N, M ); }
利用循环中的对称性,您只需将 j 从 2 运行到 i:
for(int j=2; j<=min( i, M+1); j++)
你不需要额外的数组Paras
,放弃它。而是使用临时变量。
long long temparas = 1LL*(i-2)*(j-2) + i*j - cmmdc(i-1,j-1) -2;
long long t1 = temparas * (M-j+2)*(N-i+2);
Rects += t1;
// check if the inverse case i <-> j must be considered
if( i != j && i <= M+1 ) // j <= N+1 is always true because of j <= i <= N+1
Rects += t1;
替换此行:b = a -(( a/b ) * b);
使用余数运算符:
b = a % b;
缓存 cmmdc 结果可能是可能的,您可以使用某种筛选算法初始化数组:创建一个由 a 和 b 索引的二维数组,在每个位置放置“2”,其中 a 和 b 是 2 的倍数,然后在每个a和b是3的倍数的位置放一个“3”,以此类推,大致如下:
int gcd_cache[N][N];
void init_cache(){
for (int u = 1; u < N; ++u){
for (int i = u; i < N; i+=u ) for (int k = u; k < N ; k+=u ){
gcd_cache[i][k] = u;
}
}
}
虽然不确定它是否有很大帮助。
关于c++ - NxM 网格上的平行四边形数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/21388441/
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