algorithm - 仅使用距离矩阵计算加权平均值

Question

假设我们有一个包含 N 个样本的 N x N 成对距离矩阵 (D_ij)。但是我们没有这 N 个样本的坐标。每个样本也有一个权重。我想计算这些点集之间的加权平均值。例如在 s1={1,2,3} 和 s2={4,5,6} 之间。

如果我们有坐标 (x1,x2,...) 就很容易做到这一点:

D{s1,s2} = distance(w1*x1+w2*x2+w3*x3, w4*x4+w5*x5+w6*x6)  

是否可以仅使用成对距离和权重在没有坐标的情况下获得相同的结果？

我可以想出一个公式来定义单个样本和集合之间的距离，如下所示，但我不知道如何将它扩展为两个集合之间的距离:
假设 s={x1, x2}

D{x3,s} = (w1*D{x1,x3}^2+w2*D{x2,x3}^2)/(w1+w2)-(w1*w2*D{x1,x2}^2)/(w1+w2)^2

PS:我知道我们可以将距离矩阵转换为坐标(例如使用 multidimensional scaling )。我正在寻找跳过此步骤的方法。

Answer 1

除了距离之外，没有什么通用的方法可以直接计算质心。您可以尝试使用 Multidimensional Scaling (MDS) 为 N 维空间中的点生成(可能近似)坐标。使用这些坐标直接计算质心。

注意MDS 生成的坐标不是唯一的。任何旋转/反射都会给出同样有效的解决方案；这是设计使然。可能存在其他几何对称性，具体取决于您的数据。