algorithm - 如何充分计算这个矩阵

Question

当我参加算法类(class)时，教授给了我们一个关于矩阵计算的有趣问题。给定一个 n*n maxtrix A 和 n*1 列向量 b，我们需要计算对应的 x 满足: Ax=b使用matlab语言定义A和b如下:

A=[];
for j=1:n-1
    aj=[];
    aj=[aj;repmat(1,j-1,1)];
    aj=[aj;1];
    aj=[aj;repmat(-1,n-j,1)];
    A=[A,aj];
end
A=[A,repmat(1,n,1)];
b=rand(n,1)*2;

我们只是通过输入得到x的值:

x=A\b;

然后我们通过以下方式检查结果:

res=A*x-b;

我们发现很多元素的res绝对值都大于1。

但是，教授告诉我们:只需添加如下所示的随机项目

A1=(A1+rand(n,n)*0.0001)
x1=A1\b;
res1=A*x1-b;        # there ,this is A not A1

而且我们会发现res1的元素都小于1e-4

但是，A和A1的条件数几乎一样。

我猜这是一个累积的数值误差。但我无法从数学上充分地解释这种现象。数学极客或 CSers 知道吗？谢谢。

Answer 1

这真的取决于矩阵 A。
市面上有太多的线性方程求解器，我们无法告诉您为什么在这种特殊情况下您会得到那种效果。
看看这个:http://de.mathworks.com/help/matlab/ref/mldivide.html

正如您在“算法”下看到的那样，对于普通输入矩阵，总共有 7 种不同的求解器。
它们都具有或多或少影响数值误差的特性。