求解动态规划练习的算法(背包式)

Question

这里是挑战:输入是一个包含 N 个整数的数组 X(N 的范围是 0 到 10'000，X[i] 的范围是 -100 到 100)。目标是从集合 {-1; 中找到一个由 N 个整数组成的序列 D。 1}这样

S = | sum_i (X[i] * D[i]) |

被最小化。如果我们输出整数 S(不需要明确地找到使 S 最小的序列 D)，问题就解决了。

我目前的研究:

1. 计算

   M = sum_i | X[i] |

并解决以 M/2 为背包容量和 X 为项目列表的 0-1 背包问题。它给出了正确的答案，但复杂度太高。

1. 对于范围为 0 到 N 的整数 n 和范围为 -100 到 100 的整数 r，定义

   s(n, r) = 1 如果存在长度为 n 的整数序列 D 来自集合 {-1; 1} 这样 r = | sum_{i = 0 到 n} (X[i] * D[i]} |

   s(n, r) = 0 否则。

则s有如下性质:

s(n, r) = s(n - 1, r - X[n]) || s(n - 1, r + X[n])

翻译成英语，如果前 n 个项目可以到达 r，那么前 (n - 1) 个项目可以到达 r - X[n] 或 r + X[n]。

根据这个属性，可以很容易地为给定范围内的任何 r 计算 s(N, r)。当 X 按降序排序时，它提供了更多返回正确答案的机会，但在某些情况下它仍然不正确。也许可以通过为 r 提供更大的范围来纠正它，但如果有可接受的范围，我现在还不知道。

1. 几何/线性代数方法:将所有可能的序列 D 视为欧几里得空间 R^k (k >= N) 中的向量，并在 R^k 的正交基中划分所有可能 D 的集合，然后将 X 写入每个新基地。但我对它能奏效的希望不大......

提示:

1. N 的范围(X 的大小)远大于每个 X[i] 的范围。因此序列 X 将有重复项。

Answer 1

诀窍在于 D[i] 来自 X[i] 的相反序数排列。这通过确保最小因子乘以最大因子来最小化总和；并且每个较小的因素都与每个较大的因素归纳配对。从技术上讲，这是因为欧几里得定理。所以总和的每个乘积都有最小的质因数集。人们可能会发现 X 与冒泡排序的序数排列，它在基数为 N 的一组索引 I 上并行运行。理解背包问题的关键是更高维度的旋转对应于向量空间中的转置。