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如果函数 f(x)=O(g(x)),则有可能 f(x)=Ω(g(x)) 和 f(x)= ϴ(g(x)) , 但是如果 f(x)=o(g(x)), f(x)=Ω(g(x)), 或者 f(x)=ω(g(x)) 是可能的吗?
最佳答案
我们给出一些形式化的定义:
f(n) = o(g(n))
<=> forall c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = ω(f(n))
f(n) = O(g(n))
<=> exists c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = Ω(f(n))
f(n) = ϴ(g(n))
<=> f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(f(n))
假设f(n) = o(g(n))
.问题一:可以f(n) = Ω(g(n))
?如果是这样,则必须存在 c, k
这样对于所有n >= k
, 0 <= g(n) < cf(n)
.从假设我们知道对于所有 c'
存在一些 k'
这样对于所有n >= k'
, 0 <= f(n) < cg(n)
.让k'' = max(k, k')
.我们必须:
0 <= g(k'') < cf(k'')
0 <= f(k'') < c'g(k'')
=> 0 <= g(k'') < cc'g(k'')
这必须适用于 c' > 0
的任何选择.我们所知道的 c
是存在的吗?但只要f(n)
和 g(n)
严格大于零,我们知道必须有一些最小的 c
哪个有效。让c''
是 c
的最小有效选择在 k''
.那么我们可以选择c' = 1/c''
.因此我们需要
0 < g(k'') < g(k'')
这总是错误的。所以只要f(n)
和 g(n)
不(最终)等于零,我们不能同时拥有 f(n) = o(g(n))
和 f(n) = Ω(g(n))
.
自 f(n) = ω(g(n))
暗示f(n) = Ω(g(n))
,并且我们知道根据我们的假设后者不是真的,那么我们也可以安全地回答问题 2 是否定的。
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