algorithm - 使用 O(n^2) 时间来修复二分匹配中的错误

Question

这是算法设计书上的一道题。

给定一个顶点为 G=(V,E) 的二分图，其中 V=(A,B) 使得 |A|=|B|=n。

我们设法将 A 中的 n-2 个节点与 B 中的 n-2 个节点完美匹配。但是，对于 A 中剩余的两个节点，我们将它们都映射到 B 中的某个节点(不是 n-2 个节点中的一个)在 B 中已经匹配到。)

鉴于上面“匹配”的信息，如何用O(n^2)的时间来判断A和B是否真的存在完美匹配？一个提示就好了。谢谢。

Answer 1

假设 u 和 v 是 A 中与 B 中的同一节点 x 匹配的两个节点。选择这两个节点之一 - 将其称为 u - 并从匹配中删除到 x 的边。现在剩下一个图，其中在 A 的 n - 1 个节点和 B 的 n - 1 个节点之间有一个匹配。现在的问题是你是否可以扩展这个匹配以使其更大。

使用 Berge 定理有一种非常好的方法可以做到这一点，该定理表示当且仅当两个不匹配的节点之间没有交替路径时，图中的匹配是最大的。 (交替路径是在使用不包含在匹配中的边和包含在匹配中的边之间交替的路径)。您可以通过从节点 u 开始并尝试通过修改的二进制搜索找到到 x 的路径来找到这样的路径，其中当您从 A 到 B 时，您只遵循不匹配的边，当您从 B 返回到 A 时你只遵循匹配的边缘。如果存在从 u 到 x 的交替路径，那么您一定会以这种方式找到它，如果不存在这样的路径，那么您也可以确定这一点。

如果您确实找到了一条从 u 到 x 的交替路径，您可以“翻转”它以将匹配的大小增加一个。具体来说，获取路径中所有不在匹配中的边并添加它们，并获取所有匹配中的边并删除它们。结果仍然是一个有效的匹配，它比你开始时多了一个优势(如果你不明白这是为什么，请尝试一些例子，看看你找到了什么，或者看看 Berge 定理的证明) .

总的来说，这种方法需要时间 O(m + n)，其中 m 是图中的边数，n 是节点数。在二分图中，边数 m 最多为 O(n²)，因此这与您的时间限制相匹配(事实上，实际上有点紧!)