algorithm - 加权平均分配算法

Question

我有 N 个桶，每个桶的归一化权重为 W_i。我想按重量将 $x 分配给每个桶。每个桶都有算法需要的最小 $(MIN_i) 和最大 $(MAX_i)实现。每个桶的最小值和最大值优先于权重。这个问题可以在多项式时间内解决吗？算法是怎样的？

例子:

4 个桶，A、B、C、D

A:W_A = 100，MIN_A = 0，MAX_A = 150

B:W_B = 100，MIN_B = 0，MAX_B = 60

C:W_C = 1，MIN_C = 20，MAX_C = 150

D:W_D = 1，MIN_D = 30，MAX_D = 150

总计 $ = $150

预期结果:

答:50 美元

乙:50 美元

C:20 美元

D:30 美元

请注意，C 和 D 使用了他们的最小值，其余的美元平均分配，因为 A 和 B 具有相同的权重。

Answer 1

令 z 为实参数。我对这个问题的理解是你想找到 z 这样，当桶 i 被分配时 max(MIN_i, min(MAX_i, W_i z))，分配的总和等于 x。

这是一个时间复杂度为 O(n log n) 的算法(可能有一个线性时间算法，但如果它确实存在，它可能会更复杂)。直观上它所做的是不断增加 z，直到分配的总和等于 x。

z 中总和的导数是每个桶的导数之和。 bucket i 的导数对于 z < a 为 0，然后对于 a < z < b 为 W_i，然后对于 b < z 为 0，其中 a = MIN_i/W _i 是第一个临界点，b = MAX_i/W_i 是第二个临界点。我们对这些临界点进行排序，然后追踪得到的分段线性函数。在 Python 3 中(有意避免一些 Python 习语):

import collections

Bucket = collections.namedtuple('Bucket', ('weight', 'min', 'max'))
Event = collections.namedtuple('Event', ('key', 'i', 'derivative'))


def allocate(total, buckets):
  n = len(buckets)
  events = []
  derivative = 0
  residual = total
  derivatives = []
  for i in range(n):
    bucket = buckets[i]
    events.extend([Event(bucket.min / bucket.weight, i, bucket.weight),
                   Event(bucket.max / bucket.weight, i, 0)])
    residual -= bucket.min
    derivatives.append(0)
  events.sort()
  z = 0
  for event in events:
    if derivative > 0:
      w = z + residual / derivative
      if w <= event.key:
        z = w
        break
    residual -= derivative * (event.key - z)
    derivative -= derivatives[event.i]
    derivatives[event.i] = event.derivative
    derivative += derivatives[event.i]
    z = event.key
  allocations = []
  for i in range(n):
    bucket = buckets[i]
    allocations.append(max(bucket.min,
                           min(bucket.max,
                               bucket.weight * z)))
  return allocations

print(allocate(150,
               [Bucket(100, 0, 150),
                Bucket(100, 0, 60),
                Bucket(1, 20, 150),
                Bucket(1, 30, 150)]))
# [50.0, 50.0, 20, 30]
print(allocate(100,
               [Bucket(40, 42, 55),
                Bucket(40, 0, 100),
                Bucket(20, 0, 4)]))
# [48.0, 48.0, 4]